1/1から、あなたは国民健康保険の被保険者です。役場での手続きは必要ですが、それは別の話です。つまり、法的には、少なくとも1月から3月までの3ヶ月分の保険料納付義務が発生しています。 4月に再就職した場合、そこが健康保険の強制適用事業所で、あなたがその被保険者要件を満たしていた場合は、入職日の時点であなたは健康保険の被保険者です。つまり、健康保険に加入することになります。 また、あなたが前述の国民健康保険の保険料を納付したかどうかは、再就職先にはわかりません。 なお、質問にはないことですが、あなたが20歳以上60歳未満なら、1/1からあなたは国民年金の第1号被保険者なので、少なくとも1月から3月までの3ヶ月分の保険料納付義務が発生しています。この事実は年金事務所が把握しているので、そのうち納付書が届きます。