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0<a<b ならば √a < √b 中学校の教科書では直観的な説明しかないのですが、もう...

jizobosatsu2008さん

2009/3/1114:36:58

0<a<b ならば √a < √b

中学校の教科書では直観的な説明しかないのですが、もう少しきちんと証明すると、どのような証明になるのでしょう。

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hi06112375さん

2009/3/1114:59:40

y=√x(x>0)という関数を考えます。
y'=1/(2√x)>0だから、y=√x(x>0)は単調増加関数です。
したがって、0<a<bならば、√a<√bになります。

(別解)0<a<bのとき、b-a>0であるから、√b-√a=(b-a)/(√a+√b)>0
したがって、√a<√bとなります。

質問した人からのコメント

2009/3/13 05:39:24

みなさん解答ありがとうございます。関数の単調性に着目するのが自然だと思いますが,中3の最初であたらしい数を導入する所ですので代数的にやりたかったのです。
watayans30さん さんの解答は√どうしの計算を先に導入する必要がありますが,hi06112375さんの方法ですと√a√bがいくつであるかを考える必要がないのが優れていると判断しました。
(√b+√a)(√b-√a)=b+√a√b-√a√b-a=b-a>0,定義より√a>0,√b>0なので√b+√a>0
∴√b-√a>0 ∴√a<√b

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hencoccioさん

編集あり2009/3/1300:52:31

hi06112375さんの別解がいちばんスマートですね。BAをあげてください。
念のため、質問者さんの理解のために補足すると、
√b-√a=(√b-√a)(√b+√a)/(√b+√a)/=(b-a)/(√a+√b)>0
(√b+√a≠0も証明しとかなくてはいけませんが。)
ゆえに
√b>√a
watayans30さんの解答だと、カッコの中のことをちゃんと証明するのにまた時間と手間をかける
必要があります。また、証明の全体が長くなりますね。

watayans30さん

編集あり2009/3/1209:00:32

0<a<bなるa,bが与えられたとき,√a < √b,√a > √b,√a = √bのどれか一つが成り立つ。
√a > √b とすると,(両辺を2乗したりとか,両辺に√aをかけたやつと√bをかけたやつを比較したりとかして)a>bが得られるのでおかしい。
√a = √b とすると,(〃)a=bが得られるのでおかしい。
ということは√a < √bしかありえない。

無理関数は必要ありません。というか,それが右上がりになっているという前提に立ってしまうのは循環論法です。

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nijinoashi67さん

2009/3/1115:25:18

0 < a < b ⇒ √a < √b
(証明)
a > 0 , b > 0
√a > 0 , √b > 0
(√a)^2 = a > 0
(√b)^2 = b > 0
放物線 y = x^2 を考える
グラフ上の点を
A (√a , a )
B (√b , b )
とすると、
0 < a < b
より、
点B の方が点A より右上に有る。
√a < √b

如何でしょうか?
無理関数は、中学では習いません。

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