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高校数学で3次方程式を習いますが、簡単な整数で解ける問題しか出してませんよね。

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回答(10件)

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>3次方程式の解の公式を見るととても暗記できそうにないものだし x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解とかなり関係します。あとは立方完成さえ出来れば、解の公式など覚える必要すらないです。 カルダノの公式は手順を理解するのです。 例えば、整数解があるx^3-3x-2=0という方程式で説明します。 x^3-3x-2=x^3-3yzx+y^3+z^3を満たすyとzを求めます。 yz=1、y^3+z^3=-2となればいいのです。yz=1なので(y^3)(z^3)=1です。なので、y^3とz^3を解とする2次方程式は解と係数の関係より t^2+2t+1=0と表されます。y^3>=z^3としてこれを解くとy^3=-1,z^3=-1となります。 つまり、y=-1,z=-1となります。 x^3-3x-2=x^3-3yzx+y^3+z^3を満たすy,zはy=-1,z=-1なのです。 x^3-3yzx+y^3+z^3の因数分解は高校数学レベルです。 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)です。 これにy=-1,z=-1を代入すると(x-2)(x^2+2x+1)=0です。あとは方程式を解けばいい。 今回は綺麗にyとzの値が出るパターンですが、別にこの方法なら実数係数の3次方程式は解けます。これがカルダノの公式なのです。3次方程式の解の公式なのです。暗記するものではないです。理解するものです。

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3次方程式を勉強する意味あるのかと疑問に感じるほど、3次方程式についてどんなことを勉強させられているのですか? 高校数学で扱う内容は、因数分解で解を表せるというような、一般の n次式の性質についての簡単な話題だけで、特に「3次方程式を勉強する」と表現するような内容は扱わないと思います。カルダノの公式を習って一般の3次方程式を解かされたりしているのですか? まあ、それはそれで数学徒にとっては楽しいと思いますが・・・ ということで、意味があるのか疑問に思うほど3次方程式のことを勉強してはいないと思いますよ、というのがこの質問に対する回答になります。つまり、現状で勉強させられていないものに対して「勉強する意味があるのか」という質問はいわゆる「多重質問の詭弁」ということになりそうです。(「多重質問」という訳語はまったくセンスがないと思っていますが)

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3次関数が微分積分で出てくるので、X軸との交点を求めるのに使います。 ただ、因数分解して2次以下の方程式を作って解くだけなので、3次方程式の解の公式を覚える必要はありません。因数分解さえできれば、ほぼ覚えることはないです。解と係数の関係は3次方程式にもあるので、これは覚えたほうがいいです。 法則とかも3次以上になると複雑になるので、3次式以上の公式もほぼなくなります。

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3次方程式までやらないと、解と係数の関係の本当の姿は見えてこないので、やる必要があります。 3次方程式の解の公式については、あの形を覚えようとするのは無意味で、 タルタリアの解法の手順を理解することに意味があります。 ちなみに、19世紀の学生にとっては、タルタリアの方法を使って3次方程式を解くのは、当たり前にできることだったようです。

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3次以上の整式に因数定理を使って因数分解をするのはたしかに簡単な問題ではあるが、実際の因数定理は 三角関数でさえも因数分解するという 強力な数学ツールです。 今はまだ、初歩の段階であり、応用できるのはまだこの先にありますので。