問題の(1)について、 P(k)=0となるので、x-kで割り切れるので、x-kで割り算をして、 P(x) = (x - k){x^2 - (k-3)x + k}

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高校数学 | 数学16閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

(1)が合っているか不安だったので質問した次第です。 (2)(3)を解いていただいた方もいらっしゃいますが、 より早くご解答いただいたこちらの投稿をBAとさせていただきます。

お礼日時:4/19 23:39

その他の回答(2件)

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(1)P(x) = (x - k){x^2 + (k-3)x + k} が正解。 (2) P(x)=0は、 x=kとx^2 + (k-3)x + k=0を満たすので、 P(x)=0が異なる3つの正の実数解を持つ時、 k>0かつ、x^2 + (k-3)x + k=0が異なる2つの正の実数解を持てばよい。 f(x)=x^2 - (k-3)x + kと置くと、 f(x)=(x-((k-3)/2))^{2}-((k-1)(k-9)/4) なので、 f(x)=0が異なる2つの正の実数解を持つためには、 xy平面において, y=f(x)が 3つの不等式 f(0)=k>0, -(k-3)/2)>0 -((k-1)(k-9)/4)<0 を同時に満たせば良い。 従って、0<k<1となる。 (3) P(x)=0は、x=kとx^2 + (k-3)x + k=0を満たすので、 f(x)=x^2 - (k-3)x + kにおいて、 f(k)=2k(k-1)<0だから、 P(x)=0の実数解0<α<β<γは、 x^2 + (k-3)x + k=0の解がα, γとなる。 β=kである。 すると、 解と係数の関係から、 α+γ=-(k-3), αγ=kを満たす。 従って、 -(α+γ)+β+(4/(αγ+1)) =(k-3)+k+(4/(k+1)) =2k-3+(4/(k+1)) となる。 g(k)=-(α+γ)+β+(4/(αγ+1)) と置くと、 g(k)=2k-3+(4/(k+1)) =2(k+1)+(4/(k+1)) -5 であり、k>0だから、相加平均・相乗平均の関係式から、 2(k+1)+(4/(k+1)) -5 >=2√(2(k+1)・(4/(k+1)) ) -5 =2√2 -5 となる。 従って、最小値は4√2 -5 であり、等号成立は2(k+1)=(4/(k+1)) なので、k=√2 -1 の時である。