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2021/5/2 17:41

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lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} の値をロピタルを使わずに高校数学で求められますか?

数学 | 大学数学17閲覧

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最初の不等式は、a^n-b^n=(a-b)Σ[k=0,n-1]a^kb^(n-k-1)を利用して、 (1+x)^n-1=Σ[k=0,n-1]x(1+x)^k k=0,...,n-1に対して、 0≦xのとき、(1+x)^k≧1, x(1+x)^k≧x, -2≦x≦0のとき、(1+x)^k≦1, x(1+x)^k≧x. いずれにしても (1+x)^n-1≧Σ[k=0,n-1]x=nx. よって、(1+x)^n≧1+nx. [x]はxを超えない最大の整数 (1+x)^(1/x)≦(1+x)^(1/[x]) で指数関数の単調性を使い、 (1+x)^(1/[x])≦{(1+√x)^(1/[x])}^2 は、a,bが非負のとき成立する不等式 √(a+b)≦√a+√b と指数法則を使いました。

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lim[x→∞]log((1+x)^(1/x)) =lim[x→∞]log(1+x)/x =lim[t→∞] t/(e^(t)-1) =lim[t→∞] (e^(t)/(e^(t)-1))•(t/e^(t)) =lim[t→∞] (1/(1-e^(-t)))•(t/e^(t)) ここで, t>0のとき (e^(t)-t²/2)''=e^(t)-1>0 より (e^(t)-t²/2)' は t>0 で単調増加であるから (e^(t)-t²/2)'=e^(t)-t>1. これより e^(t)-t²/2 も t>0 で単調増加であるから e^(t)-t²/2 > 1 ⇔e^(t) > t²/2 + 1 > t²/2 ゆえに, t>0 のとき 0 < t/e^(t) < t/(t²/2) = 2/t lim[t→∞] 2/t = 0 であるから, はさみうちの原理より lim[t→∞] t/e^(t) = 0 また, lim[t→∞] 1/(1-e^(-t))=1 より lim[t→∞] (1/(1-e^(-t)))•(t/e^(t)) = 0 ゆえに, lim[x→∞](1+x)^(1/x) = 1