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2021/5/13 23:56

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0<θ<π/2 cosθ 無理数 cos2θ cos3θ 有理数 の時のθを求めよ という問題で、

数学 | 高校数学13閲覧

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cos²θ=(1+cos2θ)/2 は有理数, cos3θ=cosθ(4cos²θ-3) 以降: cos3θ=p, 4cos²θ-3=q (p,q:有理数) とおける. p=q cosθ で,q≠0 とすると p/q=cosθ 左辺=有理数,右辺=無理数で矛盾. よって q=0 すなわち,4cos²θ-3=0 が必要. このとき,sinθ が無理数,sin2θ が有理数となることを述べる.