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球の面積公式はどうやって証明できるんですか?高校数学で分かる程度で教えてくだ...

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ID非公開さん

2005/1/823:24:51

球の面積公式はどうやって証明できるんですか?高校数学で分かる程度で教えてください。よろしくお願いします。

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回答数:
6

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ベストアンサーに選ばれた回答

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ID非公開さん

2005/1/900:16:23

質問の意味は「球の表面積」でOKですか?

球を輪切りにすると
輪切りにした円の円周=2πrCOSθ

なので

輪切り微小面積=2πrCOSθ・ds

これをθ=0~π/2で積分すると地球にたとえて北半球がでます。
(θは、緯度に相当します)

∫2πrCOSθ・ds
=2πr・∫COSθ・r・dθ
=2πr^2・∫COSθ・dθ
=2πr^2・〔SINθ〕←0~π/2積分
=2πr^2 (北半球分)



よって、全体では 4πr^2

(※1) 尚、ds=r・dθ
dsは緯度方向の微小距離

ベストアンサー以外の回答

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ID非公開さん

編集あり2005/1/823:53:33

アルキメデスの方法、教科書に載ってなかったかな?

球の表面積 心配あーるの事情
S=4πr^2

球の体積 身の上に心配あーるの参上す
V=4/3×πr^3
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

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ID非公開さん

編集あり2005/1/823:48:07

<球の体積の出し方は既知として回答>
球の体積をもとに考えると分かり易い。
半径rの球の体積をVとおくと
V = 4/3・πr^3 (^は○乗の記号)
球の表面積をSとおく。
体積、表面積、半径の微小変化の関係から
ΔV ≒ S・Δr
S ≒ ΔV/Δr
極限をとって
S = dV/dr
先に書いたVの公式から
S = 4πr^2

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ID非公開さん

編集あり2005/1/900:17:58

身の上心配ある参上す。
公式で覚えましょう。
そうしなきゃ、授業に追いつきませんよ。
ピタゴラスの定理にしても、謎を解く気持ちは大事なことですが。

↑一番上様
球の面積って体積のことだとカン違いしてました。
質問者さん、表面積のことですか?
昔、積分を和算で解いて×を貰った者です。

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ID非公開さん

2005/1/823:33:46

球の体積じゃなくて面積??
表面積のことかな??

上の方が言われるように
極座標を使えば簡単に証明出来ますね。
計算が複雑でもかまわなければ
別にデカルト座標でも証明出来ます。

ただいずれにしても
数3・Cの積分の知識は必要になります。
ここでは数式がうまく表現出来ないので、
書けませんが
球の体積や表面積は
3・Cでは普通に必修のはずなので
教科書には必ず載ってるので
それを参考にしてみてはどうでしょう??

tom********さん

編集あり2005/1/900:11:23

球の表面積は極座標表示を使って求める筈です。

球の中心から表面までの距離は一定なので、変数は角度の二つだけで済みますが、
おじさんは、高校で極座標と二重積分を習った憶えはないので、高校数学では無理なのでは?

答えは「4×Π×半径×半径」ですよね?
これはマル覚えしておいて下さい。
大学に入れば、理系は一年生の時点で、すぐ極座標と二重積分を履修します。

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