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2021/6/18 22:00

22回答

頭いい方、この問題の解法を教えてください。

数学 | 算数785閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">250

回答(2件)

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頭がよくないので、式できれいに算出する方法が見つからず、 力で計算しました。 【対戦結果の組合せ】 最初に、対戦結果とその組合せを数えておきます。 対戦結果はあいこかそれ以外なので、 それぞれの組合せを数えます。 ・あいこの組合せ n人でのあいこの組合せをA(n)として、 A(7)~A(2)について数えます。 7人のあいこの組合せは、全員が同じ手が3通り、 グーチョキパーが最低1つ出る重複組合せが、 (7-3+2)C2 = 15通りなので、合計18通りです。 同様に、6人だと、3+(6-3+2)C2 = 13、 5人だと、3+(5-3+2)C2 = 9となるので、 以下が得られます。 A(7)=18 A(6)=13 A(5)=9 A(4)=6 A(3)=4 A(2)=3 ・あいこ以外の組合せ 何人のじゃんけんで何人が負ける場合でも、手の出し方は、 負ける人数分の負ける手が出る1通りに 負ける手の種類の3通りをかけて、3通りです。 よって、何人から何人になる場合でも、 人数に関係なく、手の組合せは常に3通りです。 【方針】 m=7, n=12の状態から、m=M, n=Nの状態になるまでの 手の組合せをT(M,N)とします。 1回の対戦で、m=1~7, n=11の7通りの状態になるので、 対戦が継続する T(7,11)~T(2,11)を計算します。 2回目の対戦でも、m=1~7, n=10の7通りの状態になるので、 1回目の結果、 T(7,11)~T(2,11)を利用して、 対戦が継続する T(7,10)~T(2,10)を計算します。 これをn=1になるまで繰り返し、T(7,1)~T(2,1)を計算したら、 最後に、対戦が継続しない T(1,0)を計算して答えとします。 【計算】 ・N=11 T(7,11)は、7人残っている、つまりあいこなので、 T(7,11)=A(7)=18通り T(6,11)は1人負けですが、人数に関係なく3通り 同様に、T(5,11)~T(2,11)まで、全て3通りです。 ・N=10 T(7,10)は、m=7,n=11からのあいこなので、 T(7,11)xA(7)=324 T(6,10)は、m=7,n=11からの1人負けと、 m=6,n=11からのあいこの合計なので、 T(7,11)x3+T(6,11)xA(6)=93 T(5,10)は、m=7,n=11からの2人負け、 m=6,n=11からの1人負け、 m=5,n=11からのあいこの合計なので、 {T(7,11)+T(6,11)}x3+T(5,11)xA(5)=90 T(4,10)は、m=7,n=11からの3人負け、 m=6,n=11からの2人負け、 m=5,n=11からの1人負け、 m=4,n=11からのあいこの合計なので、 {T(7,11)+T(6,11)+T(5,11)}x3+T(4,11)xA(4)=90 T(3,10)は、m=7,n=11からの4人負け、 m=6,n=11からの3人負け、 m=5,n=11からの2人負け、 m=4,n=11からの1人負け、 m=3,n=11からのあいこの合計なので、 {T(7,11)+T(6,11)+T(5,11)+T(4,11)}x3+T(3,11)xA(3)=93 T(2,10)は、m=7,n=11からの5人負け、 m=6,n=11からの4人負け、 m=5,n=11からの3人負け、 m=4,n=11からの2人負け、 m=3,n=11からの1人負け、 m=2,n=11からのあいこの合計なので、 {T(7,11)+T(6,11)+T(5,11)+T(4,11)+T(3,11)}x3+T(2,11)xA(2)=99 ・N=9 同じ計算手順なので、式だけです。 T(7,9)=T(7,10)xA(7)=5832 T(6,9)=T(7,10)x3+T(6,10)xA(6)=2181 T(5,9)={T(7,10)+T(6,10)}x3+T(5,10)xA(5)=2061 T(4,9)={T(7,10)+T(6,10)+T(5,10)}x3+T(4,10)xA(4)=2061 T(3,9)={T(7,10)+T(6,10)+T(5,10)+T(4,10)}x3+T(3,10)xA(3)=2163 T(2,9){T(7,10)+T(6,10)+T(5,10)+T(4,10)+T(3,10)}x3+T(2,10)xA(2)=2367 ・N=8 以下は計算結果だけです。 T(7,8)=104976 T(6,8)=45849 T(5,8)=42588 T(4,8)=42588 T(3,8)=45057 T(2,8)=49995 ・N=7 T(7,7)=1889568 T(6,7)=910965 T(5,7)=835767 T(4,7)=835767 T(3,7)=888231 T(2,7)=993159 ・N=6 T(7,6)=34012224 T(6,6)=17511249 T(5,6)=15923502 T(4,6)=15923502 T(3,6)=16969125 T(2,6)=19060371 ・N=5 T(7,5)=612220032 T(6,5)=329682909 T(5,5)=297881937 T(4,5)=297881937 T(3,5)=317987931 T(2,5)=358199919 ・N=4 T(7,4)=11019960576 T(6,4)=6122537913 T(5,4)=5506646256 T(4,4)=5506646256 T(3,4)=5884952169 T(2,4)=6641563995 ・N=3 T(7,3)=198359290368 T(6,3)=112652874597 T(5,3)=100987311771 T(4,3)=100987311771 T(3,3)=108007181679 T(2,3)=122046921495 ・N=2 T(7,2)=3570467226624 T(6,2)=2059565240865 T(5,2)=1841922300834 T(4,2)=1841922300834 T(3,2)=1970989092237 T(2,2)=2229122675043 ・N=1 T(7,1)=64268410079232 T(6,1)=37485749811117 T(5,1)=33467398109973 T(4,1)=33467398109973 T(3,1)=35825587576419 T(2,1)=40541966509311 ・N=0 N=0の時は、1人だけ残る組合せを計算します。 T(1,0) ={T(7,1)+T(6,1)+T(5,1)+T(4,1)+T(3,1)+T(2,1)}x3 =735169530588075

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グー、チョキ、パーを出す人の人数をGCPで表します。 まず、k人がジャンケンをしてあいこになるパターンの数をA(k)とします。 A(2)は200/020/002の3通り A(3)は300/030/003と111の4通り A(4)は400/040/004と211/121/112の6通り 以下同様です。 次に1回の勝負でm人中のk人が勝ち残るパターンの数をW(m,k)とします。 m人中k人が勝ち、(m-k)人が負けなので、W(m,k)は常に3通りです。 例えばW(5,2)は230/023/302の3通りです。 そしてm人中1人の勝者がn回の勝負で決まるパターンの数をT(m,n)とします。T(m,n)は次の様になります。 勝負が1回戦で終わる場合(n=1):T(m,1)=W(m,1)=3 勝負が2回戦以降に続く場合(n>1): T(m,n)=A(m)×T(m,n-1)+W(m,m-1)×T(m-1,n-1)+ W(m,m-2)×T(m-2,n-1)+...+W(m,2)×T(2,n-1) =A(m)×T(m,n-1)+3×[T(m-1,n-1)+T(m-2,n-1)+...+T(2,n-1)] 具体的には、 T(2,1)=W(2,1)=3 T(2,2)=A(2)×T(2,1)=3×3=9 T(2,3)=A(2)×T(2,2)=3×9=27 T(3,1)=W(3,1)=3 T(3,2)=A(3)×T(3,1)+3×T(2,1)=4×3+3×3=21 T(3,3)=A(3)×T(3,2)+3×T(2,2)=4×21+3×9=111 T(4,1)=W(4,1)=3 T(4,2)=A(4)×T(4,1)+3×[T(3,1)+T(2,1)]=6×3+3×[3+3]=36 T(4,3)=A(4)×T(4,2)+3×[T(3,2)+T(2,2)]=6×36+3×[21+9]=306 等々です。T(12,7)まで計算するのはかなり面倒ですが。