iを虚数単位とします。 √i+√-iは実数?虚数?

高校数学 | 数学62閲覧

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ありがとうございます。 私は e^(-πi/2)=-iより √i+√-i=(e^(πi/2))^(1/2)+(e^(-πi/2))^(1/2) =(e^(πi/4))+(e^(-πi/4))=(1/√2+i/√2)+(1/√2-i/√2) =2/√2=√2 よって実数 と考えたのですが、この式変形は一般的に用いない方がよいのでしょうか。

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お礼日時:6/18 19:46

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虚数のルートをどれにするかについては,合理的な決め方があるような気があまりしません。

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√i=a+bi(a,b:実数)とする。 両辺2乗して i=(a²-b²)+2abi ∴(a+b)(a-b)=0,2ab=1 (1) a=bの時ab=1/2より a=b=±1/√2 (2)a=-bのとき a,bが実数なので不適。 √i=±(1/√2)±(1/√2)(複号同順) 同様に√-i=a+biとする -i=a²-b²+2abi (a+b)(a-b)=0,2ab=-1 (1)a=bのとき、2ab=-1 よって不適 (2)a=-bの時2ab=1より a=±1/√2、b=∓1/√2 √i=±(1/√2)∓(1/√2)i (複号同順) よって √i=(1/√2)+(1/√2)i √-i=(1/√2)-(1/√2)i のとき √i+√-i=√2 √i=(1/√2)+(1/√2)i √-i=-(1/√2)+(1/√2)i のとき √i+√-i=√2i √i=-(1/√2)-(1/√2)i √-i=(1/√2)-(1/√2)i のとき √i+√-i=-√2i √i=-(1/√2)-(1/√2)i √-i=-(1/√2)+(1/√2)i のとき √i+√-i=-√2 ∴ √i+√-i=√2,-√2,√2i,-√2i

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√i+√-i は3個の可能性がある 0<√i ではないので x^2=i の解 のどちらでもありうる

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√i と √-i は共役な関係にあります。 よってその和は 実数となります。 具体的に計算すると √i + √-i = (0 + i)^(1/2) + (0 - i)^(1/2) = (e^(πi/2))^(1/2) + (e^(3πi/2))^(1/2) = e^(πi/4) + e^(3πi/4) = (1/√2 + i ・1/√2) + (1/√2 - i・ 1/√2) = √2 となります。

ありがとうございます。 重箱の隅をつつくような話で申し訳ないのですが、 e^(3πi/4)は 複素平面の第二象限に位置する点なので、 e^(3πi/4)=(1/√2 - i・ 1/√2) は書き誤りで e^(3πi/4)=(-1/√2 + i・ 1/√2) が正しく思えます。 すると結論が変わり、 (1/√2 + i ・1/√2)+(-1/√2 + i・ 1/√2) =√2i 虚数となるのですが、この計算式は間違っておりますか。

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√i や √-i をどのように定義していますか?

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実数Rの区間[0,∞)上に定義される一値の実関数y=√xの定義域を解析接続で複素数Cに自然に拡張したもの…とかかな…??? (どのような定義をする人が多数派なのか気になって、主値の選び方次第で答えが変わる質問をしてみました)