大学数学、微分の問題です。

大学数学 | 数学11閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

できました!とてもわかりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時:6/21 10:47

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x, y がそれぞれ t の関数で微分可能、f が x, y の関数で全微分可能のとき、 z(t) := f x(t), y(t) に対して dz(t) = fx(x(t), y(t))dx(t) + fy(x(t), y(t))dy(t) が成り立つ。簡単にかくと、 df = f dx + f dy dt x dt y dt となる。(4.1) を Cahin Rule( 連鎖公式:合成関数の微分公式 ) と呼ぶ。 証明 z(t) = f (x(t), y(t)) とかき、△t → 0 のとき、 dt dt dt (4.1) △x = x(t+△t)−x(t), △x → x′(t), △y = y(t+△t)−y(t) △y → y′(t) とかくと、 である。また、f の全微分可能性から △t z(t + △t) − z(t) = fx(x(t), y(t))△x + fy(x(t), y(t))△y △t +o (△x)2 + (△y)2 となる。両辺を △t で割って △t → 0 とすれば求める式を得る。 2) Chain Rule(連鎖公式)により、 zu = ∂z=∂z∂x+∂z∂y=zxxu+zyyu したがって、 dz = = zuu = zuv = zvv = fxxx2u + 2fxyxuyu + fyyyu2 + fxxuu + fyyuu fxxxuxv + fxy(xuyv + xvyu) + fyyyuyv + fxxuv + fyyuv fxxx2v + 2fxyxvyv + fyyyv2 + fxxvv + fyyvv (4.2) (4.3) (4.4) ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u zv = ∂z=∂z∂x+∂z∂y=zxxv+zyyv ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v (zxxu + zyyu)du + (zxxv + zyyv)dv zx(xudu + xvdv) + zy(yudu + yvdv) = zxdx + zydy 例 4.3 f(x,y) が C2 級で、 x = x(u,v),y = y(u,v) が (u,v) の C2 級の関数なら ば、 z = f(x(u,v),y(u,v)) に対して という式が成立する。ただし、右辺の f の偏導関数の中に入る変数は x = x(u, v), y = y(u, v) である。 証明 (4.2) のみ示す。まず、連鎖公式により、 zu = fxxu + fyyu で、fx,fy は x = x(u,v),y = y(u,v) のC1 級の関数。そこで、上式を再び u で 偏微分すると、積の微分公式より、 zuu = fxuxu + fxxuu + fyuyu + fyyuu ここで、連鎖公式を fx に使うと、 (4.5) 同様に、 fxu = (fx)u = fxxxu + fxyyu fyu = (fy)u = fyxxu + fyyyu となるので、これらを (4.5) に代入して zuu = {fxxxu + fxyyu}xu + fxxuu + {fyxxu + fyyyu}yu + fyyuu これをまとめると (4.2) 式になる。 a) z=log(x+y), x=tant, y=sect(= 1 ) (0<t<π2) cos t (b) z=x+y, x=t−1, y=2 (0<t<2) x−y t 2) 上の (4.3), (4.4) 式を証明せよ。 宿題 4.1 f(x,y) = x2 +y3,に x = x(u,v) = cosu+sinv,y = y(u,v) = u−v を 代入した関数 について、zu,zv,zuu,zuv,zvv を求めよ。 宿題 4.2 理想気体の状態方程式は、圧力 p 体積 V 温度 T を用いて pV = RT と 表わされる。(R は気体定数)このとき、p, V, T はそれぞれ他の 2 変数の関数と なる。S = αlogT +RlogV +β( α,β :定数)によってエントロピーS を定義 するとき、次の等式を示せ。 ∂S =∂p ,∂S =−∂V ∂VT ∂TV ∂pT ∂Tp ここで、たとえば ∂S は S を V と T の関数と考えて、V について偏微分す ∂V T ることを意味する。 z = f(x(u,v),y(u,v))