lim[x→1]x^3=1 をε-δ論法で証明 任意の正の数εに対する正の数δを選ぶとして、δ<1を満たさなければいけないのは何故ですか?

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

お2人の方回答ありがとうございます! どちらも大変わかりやすかったです。 高校数学での概念が未だに抜けず、"都合よく設定し選ぶ"ということにまだ慣れておりません……。お先に回答頂いていた方にベストアンサーさせて頂きますm(_ _)m

お礼日時:7/25 10:48

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別に満たさなくてもよいですが、必ずδ≦1となるように上手く選んでおけば最後に δⁿ≦δ とできるので,評価が楽になります。 ※もっとも、εは任意に小さくとれてδはそれに応じてもっとシビアに小さくとっていくので最終的にはδ≦1で考えれば十分なのですが、以下で見るように証明を書いていくときに楽になります。 置き換えの方も必ずしもしなくても良いのですが、x→1⇔y→0となるので、|x-1|<δとするところが|y|<δとなり,記述が少しですが楽になります。 置き換えにより lim_{y→0} (y+1)³=1 を示せば良い。 任意のε>0に対して、δ=min(ε/7,1)>0ととると、 (δ≦ε/7かつδ≦1となっていることに注意) 0<|y|<δのとき |(y+1)³-1|=|y³+3y²+3y| ≦|y|³+3y²+3|y| <δ³+3δ²+3δ ≦δ+3δ+3δ =7δ≦ε となり示せました。 もし冒頭でδ≦1となるようにとっていなかったら、最後にδ³+3δ²+3δ=εもしくはδ³+3δ²+3δ≦εとなるようなδをひとつ見つけてくる必要があり、これは未知数の入った3次方程式や3次不等式を解くことに等価なので見つけてくるのは困難です。