積分とかででてくる、dx の厳密な定義を教えてください。

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これまたご存知かもしれませんが解析概論p39にはdy=f‘(x)Δxと定義されています。定理としてdx=Δxが導出出来ますね。ただdx,dyを定義してからdy/dxや∫fdxを定義してるわけではなくdy/dxを定義してからdyやdxを定義している上、この定義だと積分とは関係がなくなります(少なくとも私の知識ではあんまり関係ないです)。 一応書き残しておきます...。

ThanksImg質問者からのお礼コメント

少し学んでみると,かなり重要な視点だということがみえてきました.「多様体の基礎」を読んでいます.

お礼日時:9/28 12:48

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高校,あるいは,大学初年度向けの説明をします. 積分は,本来は区分求積法で定義します. (本当はもっといろいろありますが,上記のレベル向けということで.) そして,それが微分の逆である原始関数と一致するというのは, 「導かれる」法則です. 区分求積法は定積分から始めて,後で不定積分にいくので,定積分∫_a^b f(x) dx を考えます. 区分求積法ではこの積分は(簡単に書きますと) ∫_a^b f(x) dx = lim_{N→∞}(b-a)/N Σ_{i=0}^{N-1} f(a+i (b-a)/N) となります.グラフの面積を無限に細かい短冊の面積で定義するのですね. 左辺と右辺を見比べてください. x ← a+i(b-a)/N f(x) ← f(a+i (b-a)/N) dx ← (b-a)/N (短冊の横幅) ∫_a^b ← Σ_{i=0}^{N-1} という対応になります. つまり,dxというのは短冊の横幅に対応します.よく,高校数学で ∫記号と dxが一体のものと考えがちですが, ∫ f(x) (dx)^2 や ∫ f(x) というものを考えても構いません. でも,前者は区分求積法で考えると ((b-a)/N)^2がかかることに なるので,f(x)が有限である限り,N→∞で答えは0になり, 後者は答えが発散します. いかがでしょうか.