積分の微分 ∫_{0}^{x} f(t) dt = f(x)

補足

d/dx{∫_{π(x)}^{τ(x)} g(t) dt} = g(π(x))*d/dx(π(x)) + g(τ(x))*d/dx(τ(x)) でなく d/dx{∫_{π(x)}^{τ(x)} g(t) dt} = g(π(x))*d/dx(π(x)) - g(τ(x))*d/dx(τ(x)) でした. 皆さん分かってると思われますが一応訂正します.

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I(z)=∫[z→z/2]{4x(z-x)^2}dx に公式を適用する時に問題が起きています。 4x(z-x)^2の原始関数をF(x,z) とすると、(※zが被積分関数に含まれている) I(z)=F(z/2,z)-F(z,z). ⇒ (∂/∂z)I(z) =(1/2){∂F(x,y)/∂x,[x=z/2,y=z]}+{∂F(x,y)/∂y,[x=z/2,y=z]}. となります。∂F(x,y)/∂yの項が出現してしまうため、公式が使えないのです。 この場合、 I(z)=(z^4)∫[z→z/2]{4(x/z)(1-(x/z))^2}(dx/z) と変形してx/z=tとおいて変数置換すると t:1→1/2. dx/z=dtより I(z)=(z^4)∫[1→1/2]{4t(1-t)^2}dt. となるので、 (∂/∂z)I(z)=4(z^3)∫[1→1/2]{4t(1-t)^2}dt. となります。