確認させていただきたいです。

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f'(x)は必ずしも連続であるとは限らないので lim[x→a] f'(x)=f'(a) となるとは限りませんが、 f'(a)=lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a) は定義なので何が何でも成り立ちます。