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2021/11/24 16:32

22回答

de^x/dx=e^x で、指数関数e^xは微分しても同じ関数になることをテイラー展開を用いて証明してください お願いします

大学数学 | 数学99閲覧

回答(2件)

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「テイラー展開を用いて証明」という表現はいささか乱暴ですね。テイラー級数はそもそも微分の結果を用いて構成されるのですから、e^xのテイラー展開ができているということは d/dx(e^x)=e^x となることが確認済みであることになります。 「証明」ではなくて、テイラー級数を項別微分することでも確かに d/dx(e^x)=e^x となってテイラー展開の理論に矛盾がないことを「鑑賞」するという話題でしょう。

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(証明)e^x=Σ[n=0~∞]xⁿ/n! 両辺をⅹで微分 (e^x)´=Σ[n=0~∞](xⁿ/n!)´ =Σ[n=1~∞]nxⁿ⁻¹/n! =Σ[n=1~∞]xⁿ⁻¹/(n-1)! =Σ[n=0~∞]xⁿ/n! =e^x ∴d(e^x)/dx=e^x (証終)

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質問者2021/11/24 23:31

ありがとうございます