ID非公開ID非公開さん2022/1/11 15:0611回答至急お願いします。至急お願いします。 画像の問題が分かりません。 広義積分です。…続きを読む数学 | 大学数学・87閲覧1人が共感しています共感したベストアンサーhttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q102552491500mik********mik********さん2022/1/11 15:28{(x+a)(log(x+a)-1)}' =(log(x+a)-1)+(x+a)/(x+a)=log(x+a). よって ∫[1→∞]{log(x+a)-log(x)-a/(x+a)}dx =[(x+a)(log(x+a)-1)-x(log(x)-1)-alog(x+a)][x=1→∞] =[(x+a)log(x+a)-(x+a)-xlog(x)+x-alog(x+a)][x=1→∞] =[xlog(x+a)-xlog(x)-a][x=1→∞] =lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)}-a-{log(1+a)-a} =lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)}-log(1+a). (※a>-1⇒ 1+a>0) ここで lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)} =lim[x→∞]{log(1+a/x)/(1/x)} は0/0の不定形なのでロピタルの定理により分子/分母を微分すると =lim[x→∞]{(1/(x+a)-1/x)/(-1/x^2)} =lim[x→∞]{(-x^2/(x+a)+x} =lim[x→∞]{-x/(1+a/x)+x} =lim[x→∞]{a/(1+a/x)}=a. よって I=a-log(1+a).ナイス！
ベストアンサーhttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q102552491500mik********mik********さん2022/1/11 15:28{(x+a)(log(x+a)-1)}' =(log(x+a)-1)+(x+a)/(x+a)=log(x+a). よって ∫[1→∞]{log(x+a)-log(x)-a/(x+a)}dx =[(x+a)(log(x+a)-1)-x(log(x)-1)-alog(x+a)][x=1→∞] =[(x+a)log(x+a)-(x+a)-xlog(x)+x-alog(x+a)][x=1→∞] =[xlog(x+a)-xlog(x)-a][x=1→∞] =lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)}-a-{log(1+a)-a} =lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)}-log(1+a). (※a>-1⇒ 1+a>0) ここで lim[x→∞]{xlog((x+a)/x)} =lim[x→∞]{log(1+a/x)/(1/x)} は0/0の不定形なのでロピタルの定理により分子/分母を微分すると =lim[x→∞]{(1/(x+a)-1/x)/(-1/x^2)} =lim[x→∞]{(-x^2/(x+a)+x} =lim[x→∞]{-x/(1+a/x)+x} =lim[x→∞]{a/(1+a/x)}=a. よって I=a-log(1+a).ナイス！
