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2022/1/17 9:19

33回答

三角関数、双曲線関数について。

三角関数、双曲線関数について。 画像の式でaを2aに置き換えた場合を考えたいです。 kn,a,Lは定数で、a=0.04,kn=4.93, L=0.38です。 2倍角を用いてXn(2a)を計算するとcos(kna)≒1、cosh(kna)≒1としてXn(2a)≒2*Xn(a)になったのですが、エクセルで計算すると4*Xn(a)に近くなりました。 Xn(2a)≒4*Xn(a)となる途中式(式変形)を考えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。

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数学 | 物理学・72閲覧

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2022/1/17 10:57

|x| << 1 に対して cos(x) ≒ 1 - x^2/2， cosh(x) ≒ 1 + x^2/2 より，右辺で (第1項) + (第2項) ≒ x^2． 同じく sin(x) ≒ x - x^3/6, sinh(x) ≒ x + x^3/6 より (第3項の差の部分) ≒ -x^3/3． 第3項の係数の部分は1の程度なので，小さなxに対して， |(第1項) + (第2項)| >> |第3項|. 以上より Xn(2a) ≒ 2^2 Xn(a).

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質問者2022/1/17 11:39

|(第1項) + (第2項)| >>|第3項| についてなんですが、 x^2 ≫ (x^3)/3 としてよいものなのでしょうか？

その他の回答（2件）

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mik********

2022/1/17 13:08

b=KnL=4.93×0.38=1.8734≒1.87 c=Kna=4.93×0.04=0.1972≒0.20 D=(cos(b)+cosh(b))/(sin(b)+sinh(b))≒0.73 とおくと Xn(a)=-cos(c)+cosh(c)+D(sin(c)-sinh(c)) ={-cos(c)+Dsin(c)}+{cosh(c)-Dsinh(c)} ここで前の{}を合成すると -cos(c)+Dsin(c) =-{cos(c)-Dsin(c)} =-√(1+D^2){(1/√(1+D^2))cos(sc)+(-D/√(1+D^2))sin(c)} (1/√(1+D^2))^2+(-D/√(1+D^2))^2=1だから (※√(1+D^2)≒1.24) cosδ=1/√(1+D^2) sinδ=D/√(1+D^2) tanδ=sinδ/cosδ=D ⇒ δ=arctan(D)≒0.63 (≒36°) とおけて加法定理より -cos(c)+Dsin(c) =-√(1+D^2){cos(c)cosδ-sin(c)sinδ} =√(1+D^2)cos(c+δ) =√(1+D^2)cos(c+arctan(D)). また後ろの{}は (※cosh(c)-Dsinh(c)) {1/√(1-D^2)}^2-{-D/√(1-D^2)}^2=1より cosh(δ)=1/√(1-D^2) > 1. (※coshの値域は1以上) sinh(δ)=D/√(1-D^2) tanh(δ)=D ⇒ δ=arctanh(D). (※arctanh(D)≒0.94) とおけて cosh(c)-Dsinh(c) =√(1-D^2){(1/√(1-D^2))cosh(c)-(D/√(1-D^2))sinh(c)} =√(1-D^2){cosh(δ)cosh(c)-sinh(δ)sinh(c)} =√(1-D^2)cosh(c-δ) (※双曲線関数の加法定理) =√(1-D^2)cosh(c-arctanh(D)). よってc=aKnより Xn(a)=-√(1+D^2)cos(aKn+arctan(D))+√(1-D^2)cosh(aKn-arctanh(D)) Xn'(a)=Kn√(1+D^2)sin(aKn+arctan(D))+Kn√(1-D^2)sinh(aKn-arctanh(D)) a=0.04, 2a=0.08 なので Xn(0.04)≒0.037 Xn(0.08)≒0.141 Xn(0.08)/Xn(0.04)≒3.81 Xn'(0.04)≒1.80 Xn'(0.08)≒3.33 Xn(2a)/Xn(a)をグラフを添付します。 確かにa=0.04付近でXn(2a)/Xn(a)≒4のようです。 Xn(a)の第１項と第２項は a=0.04付近では -0.84, 0.87 a=0.08付近では a=-0.64, 0.78 と近接していますが a=1では -0.93 18.4 となって第１項は第２項の5%程度になり、aが大きいほどこの割り合いは 小さくなるのでa>1では第１項の影響は無視できるようになります。 Xn(2a)/Xn(a)= {-√(1+D^2)cos(2aKn+arctan(D))+√(1-D^2)cosh(2aKn-arctanh(D))} /{-√(1+D^2)cos(aKn+arctan(D))+√(1-D^2)cosh(aKn-arctanh(D))} のグラフは添付のとおりでa=0.02～0.1ぐらいまで、ほぼ4として良さそうなので 上の関数をマクローリン展開等で近似すると良いかもしれません。

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mik********

2022/1/17 13:32

マクローリン展開すると cos(aKn+arctan(D))≒cos(arctan(D)) -aKnsin(arctan(D))-(a^2/2)Kn^2cos(arctan(D)) cosh(aKn-arctanh(D))≒cosh(arctanh(D)) -a(Kn)sinh(arctanh(D))+(a^2/2)(Kn^2)cosh(arctanh(D)) Xn(a)≒ {-√(1+D^2)cos(arctan(D))+√(1-D^2)cosh(arctanh(D))} +a(Kn){√(1+D^2)sin(arctan(D))-√(1-D^2)sinh(arctanh(D))} +a^2{(Kn^2)/2} {√(1+D^2)cos(arctan(D))+√(1-D^2)cosh(arctanh(D))} ≒24.3a^2.