「警告は相手のことも考えていて
脅しは自分の利益とかのことしか考えてない」
というのはほぼ正解です。
警告も脅しも、受け手に向って、あなたにとって不利になることがあると告げる点ではどちらも同じです。脅しが言葉のうえでは警告の形をとっていることもあるので、そういう場合は警告か脅しをの区別が言葉からだけではできません。
両者の違いは、通告者と受け手との関係がどうなっているかにあります。
プロ野球に死球をぶつけあう報復合戦を防ぐためのルールとして警告試合というのあります。この警告は戦っている両チームのどちらにも味方しない・公平な立場にある第三者の審判がするものです。「警告試合」が宣言されたのちは、相手選手に死球を与えた投手は即刻退場になります。
脅しは利害が対立していたり敵対関係にあるような一方の当事者が、もう一方に対して、言うとおりにしないと困ることが起きるぞとか、今に後悔することになるから覚悟しておけなどと告げるものです。