f(x)=x⁴-ax³+(2a+b-10)x²+(a+2b-1)x+b
f(x)をx²-4x-2で割った商をQ(x)とすると
f(x)＝(x²-4x-2)Q(x)とおける。
x²-4x-2=0とするとx=2±√6であるから、
f(x)＝{x-(2+√6)}{x-(2-√6)}Q(x)であり、
f(2+√6)＝0, f(2-√6)＝0である。
f(2+√6)
＝(10＋4√6)²-a(8＋12√6＋36＋6√6)＋(2a+b-10)(10+4√6)＋(a+2b-1)(2+√6)＋b
＝196＋80√6-(44+18√6)a＋(20+8√6)a＋(10+4√6)b-100-40√6＋(2+√6)a＋(4+2√6)b-2-√6＋b
＝-(22＋9√6)a＋(15＋6√6)b＋94＋39√6＝0…①
f(2-√6)
＝(10-4√6)²-a(8-12√6＋36-6√6)＋(2a+b-10)(10-4√6)＋(a+2b-1)(2-√6)＋b
＝196-80√6-(44-18√6)a＋(20-8√6)a＋(10-4√6)b-100+40√6＋(2-√6)a＋(4-2√6)b-2+√6＋b
＝-(22-9√6)a＋(15-6√6)b＋94-39√6＝0…②
①＋②より-44a＋30b＋188＝0⇔-22a＋15b＋94＝0…③
①－②より-18√6a＋12√6b＋78√6＝0⇔-3a＋2b＋13＝0…④
③×2－④×15よりa-7＝0⇔a=7
これを④に代入して-21＋2b+13=0⇔b=4
逆にこのときf(x)＝x⁴-7x³+8x²＋14x＋4＝(x²-4x-2)(x²-3x-2)となり、f(x)はx²-4x-2で割り切れる。
以上よりa=7…[ア], b=4…[イ]
また、f(2+√6)=4+√6より
f(2+√6)＝-(22＋9√6)a＋(15＋6√6)b＋94＋39√6
＝(-22a＋15b＋94)＋(-9a＋6b＋39)√6＝4+√6
a,bは有理数であるから、-22a＋15b＋94, -9a＋6b＋39, 4, 1はいずれも有理数であり、√6は無理数である。
以上より、係数を比較して-22a＋15b＋94＝4, -9a＋6b＋39＝1
-22a＋15b＝-90…⑤、-9a＋6b＝-38…⑥
⑤×2－⑥×5よりa＝10
これを⑥に代入して-90＋6b＝-38⇔b=26/3
a=10, b=26/3はどちらも有理数であるから条件を満たす。
以上よりa=10…[ウ], b=26/3…[エ]
[ア][イ]別解1
f(x)をx²-4x-2で割った商をx²＋cx-(1/2)bとおく。
f(x)＝(x²-4x-2){x²＋cx-(1/2)b}
＝x⁴＋(c-4)x³-{(1/2)b＋4c+2}x²＋(2b-2c)x＋b
∴x⁴-ax³+(2a+b-10)x²+(a+2b-1)x+b＝x⁴＋(c-4)x³-{(1/2)b＋4c+2}x²＋(2b-2c)x＋b
これがxの恒等式となればよいから両辺の係数を比較して
-a＝c-4…⑦, 2a+b-10＝-{(1/2)b＋4c+2}…⑧, a+2b-1＝2b-2c…⑨
⑦, ⑨よりa+c=4, a+2c＝1⇔a=7, c=-3
⑧より4a＋3b＋8c＝16⇔28＋3b-24＝16⇔b=4
以上よりa=7…[ア], b=4…[イ]
[ア][イ]別解2
筆算でf(x)をx²-4x-2で割って(画像を参照して下さい)、
f(x)＝(x²-4x-2){x²＋(-a+4)x-2a+b+8}＋(-9a+6b+39)x-4a+3b+16
f(x)はx⁴-4x-2で割り切れるから
(-9a+6b+39)x-4a+3b+16＝0
これがxの恒等式となればよいから両辺の係数を比較して
-9a+6b+39＝0, -4a+3b+16=0⇔a=7, b=4
以上よりa=7…[ア], b=4…[イ]
