上むきにx軸をとる。
ニュートンの運動方程式は、
md^{2}x/dt^{2}=-mg-kv^{2}
である。
v=dx/dt
なので、
mdv/dt=-mg-kv^{2}
となる。この微分方程式をとく。
初期条件t=0の時、v=v[0]のもとで、
mdv/dt=-mg-kv^{2}
を解く。
(1/k)dv/(v^{2}+(mg/k))=-(1/m)∫dt
なので、
Arctan(v√(k/(mg)))=-√(gk/m)t+Arctan(v[0]√(k/(mg)))
となる。
最高点に到達する時刻Tは、
v=0の時の時刻なので、
0=-√(gk/m)T+Arctan(v[0]√(k/(mg)))
となる。
従って、
T=√(m/gk)Arctan(v[0]√(k/(mg)))
となる。
また、
Arctan(v√(k/(mg)))=-√(gk/m)t+Arctan(v[0]√(k/(mg)))より、
v=√((mg)/k)tan(-√(gk/m)t+Arctan(v[0]√(k/(mg))))
である。
ここで簡単のために、α=Arctan(v[0]√(k/(mg))とおくと、
v=√((mg)/k)tan(-√(gk/m)t+α))
従って、初期条件t=0の時、x=0のもとで
x=∫vdt=-(m/k)log|cos(-√(gk/m)t+α)|+(m/k)log(cosα)
となる。
T=√(m/gk)Arctan(v[0]√(k/(mg)))=√(m/gk)αを代入すると、
最高到達点は、
x=(m/k)log(cosα)
=(m/k)log(cos(Arctan(v[0]√(k/(mg))))
となる。
「lim[x→∞]Arctan(x)=π/2に注意すると、
y=Arctan(x)は下限が-π/2, 上限がπ/2の単調増加関数であることに注意。」
また、v[0]を大きくすると、
つまり、v[0]→∞とすると、
T=√(m/gk)Arctan(v[0]√(k/(mg)))→(π/2)√(m/gk)
となる。
Tには上限があり、その上限が(π/2)√(m/gk)
(問題がTの最小値ではなく上限の間違いですね)
