1150940393 さん Ａ：( a/2 , 0 , 0 ) に Ｑ Ｂ：( －a/2 , 0 , 0 ) に －Q １． Ｐ：( x , y , 0 ) とします。 点電荷q から距離ｒにおける電位は、k = 1/(4πε₀) とおいて、 U=kq/r を用います。 点Ａの電荷Ｑによる点Ｐの電位φa： 三角形POA において、 OP = r OA = a/2 だから、∠POA = θ として、余弦定理により、 PA² = OP² + OA² －2OP･OAcosθ = r² + a²/4 －racosθ cosθ = x/r だから、 PA² = r² + a²/4 －ax Pa = √(r² +a²/4 －ax) ∴ φa = kQ/√(r² +a²/4 －ax) 同様にして、 点Ｂの電荷－Qによる点Ｐの電位φb： φb = －kQ/√(r² +a²/4 +ax) よって、点Ｐの電位φ は、 φ = φa + φb = kQ/√(r² +a²/4 －ax) －kQ/√(r² +a²/4 ＋ax) ２． a ≪ r とすると、 1/√(r² +a²/4 －ax) = (1/r)/√[1 +(a/2r)² －ax/r²] = (1/r)･[1 +(a/2r)² －ax/r²]⁻¹/² ≒ (1/r)･{1 －(1/2)[(a/2r)² －ax/r²]} 同様に、 1/√(r² +a²/4 ＋ax) ≒ (1/r)･{1 －(1/2)[(a/2r)² ＋ax/r²]} だから、 (1/r)･{1 －(1/2)[(a/2r)² －ax/r²]}－(1/r)･{1 －(1/2)[(a/2r)² ＋ax/r²]} = (1/r)･ax/r² = ax/r³ ∴ φ = kQ ･ax/r³ = Qax/(4πε₀ r³) ３． E↑= －gradφ = －( ∂φ/∂x , ∂φ/∂y , ∂φ/∂z ) より、 Ex = －∂φ/∂x = －kQa･(∂/∂x) xr⁻³ = －kQa (r⁻³ +x･(-3)r⁻⁴･∂r/∂x) = －kQa (1/r³ －3x/r⁴ ･x/r) = －kQa (1/r³ －3x²/r⁵) = －kQa (r² －3x²)/r⁵ = －Qa(r² －3x²) /(4πε₀r⁵) Ey = －∂φ/∂y = －kQax (∂/∂y) r⁻³ = －kQax ･(-3)r⁻⁴･∂r/∂y = kQax ･(3/r⁴)･y/r = 3kQaxy/r⁵ = 3Qaxy/(4πε₀r⁵) となります。