(1) (ⅰ) x＞0、y＞0であるから、相加平均、相乗平均の関係より、 x＋y≧2√xy＝2√4＝4 等号が成り立つのは、x＝y＝2の時である。このとき、最小値をとり log₂(x＋y)＝log₂4＝2 (ⅱ) y＝x^(log₂√y) 両辺の底２の対数をとって、 log₂y＝log₂x^(log₂√y) log₂y＝log₂√y×log₂x log₂y＝1/2log₂y×log₂x log₂y≠0であるから、 2＝log₂x よって、 x＝4 このとき、y＝1 (ⅲ) 2^log₂x²＝x^log₂y 対数の定義によって、2^log₂x²=x² であるから、 x²＝x^log₂y log₂y＝2 y＝4 このとき、x＝1 (ⅳ) x^log₂y×y^log₂x＝1/64 両辺の底２の対数をとって、 log₂(x^log₂y×y^log₂x)＝log₂(1/64) log₂x^log₂y＋log₂y^log₂x＝log₂2⁻⁶ log₂y×log₂x＋log₂x×log₂y＝－6 log₂x＝X、log₂y＝Y とすると 2XY＝-6 XY＝-3 また、xy＝4 であるから、 log₂xy＝log₂4 log₂x＋log₂y＝2 X＋Y＝2 X＋Y＝2 XY＝-3 は、 t²－2t－3＝0 の解であるから、 t＝3,-1 すなわち (X,Y)＝(-1,3)、(3,-1) (x,y)＝(1/2,8)、(8,1/2) (2) C(√3,0)とすると△OCAは、∠ACO＝90°の直角三角形である。 OC：AC＝1：√3 であるから、 ∠AOC＝60°したがって、 ∠AOB＝120° (∠OAB は、まだ、できていないので、出来次第お知らせします。) △ABCは、∠ACB＝90°の直角三角形であるから、三平方の定理により AB＝3√6＋3√2 (AB²＝AC²＋BC² 計算省略) OMは、∠AOBの二等分線であるから、 OA：OB＝AM：BM すなわち OA：(OA＋OB)＝AM：(AM＋BM)＝AM：AB よって、 2√3：(2√3＋6＋2√3)＝AM：(3√6＋3√2) AM＝2√3×(3√6＋3√2)/(2√3＋6＋2√3) AM＝6(√3×√6＋√3×√2)/2(2√3＋3) ＝3(3√2＋√6)/(2√3＋3) ＝3√6－3√2