区間の端点が不連続だが極限値を持つような関数について, 中間値の定理を利用した零点の存在証明について悩んでいます. 実数値連続関数fに対して,g(x)=f(x)/{x(x-1)}と定義し, gは(0,1)で連続で,また,lim[x→0]g(x)g(1-x)=c<0が成り立つと仮定します. このとき,ε<-cを満たす任意のε>0に対して「 『任意のx∊(-δ,δ)がc-ε<g(x)g(1-x)<c+ε<0を満たす』 ようなδ>0が存在」し,そのようなδはいくらでも小さくできるから, [δ',1-δ']⊂(0,1)かつg(δ')g(1-δ')<0を満たすようなδ'∊(0,δ)が存在する. またg(x)は[δ',1-δ']上で連続であるから, 中間値の定理より, f(x)=0となるようなxが(0,1)上に存在する. 間違いがあるかどうか教えていただけると助かります.
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