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n次の行列式の値の定義っていうのでΣとかsgnとかで書かれいるやつの 意味がわか...

sur********さん

2009/5/3108:26:04

n次の行列式の値の定義っていうのでΣとかsgnとかで書かれいるやつの

意味がわかりません・・・・

できるだけわかりやすく説明してください

よろしくお願いします

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kim********さん

編集あり2009/6/517:10:51

かなりおおざっぱすぎる質問ですが、わかりますよ。あれですね。(笑)


置換:
1からnまでのn個の自然数を考える。
この自然数1,2,3...nのそれぞれに、この今考えているn個の自然数
1,2,3....,nのどれか一つを対応させることを考える.
このとき、ことなる自然数が同じ自然数に対応しないような対応のさせ方を
n文字の置換という。
たとえば、1,2の両方が1に対応するならその対応は置換ではない。

ここで、aがbに対応することをb=σ(a)とかく。
またこの置換を行列にまねて次のようにかく
| 1 2 3 ..... n |
|σ(1) σ(2) σ(3) ......σ(n)| |は括弧

当然σ(1),σ(2),σ(3),......,σ(n)は相異なる1からnまでのn個の自然数
(σ(1),σ(2),σ(3),......,σ(n)のなかに同一の自然数があれば置換ではなくなってしまう)
例:
σ=
|1 2 3 4 5|
|1 3 5 4 2| は置換で
σ(1)=1,σ(2)=3,σ(3)=5,σ(4)=4,σ(5)=3

また、n文字の置換はn文字の並び替えともとれるので
n文字の置換は全部でn!個あることがわかります。
ここでsgn(σ)を定義します。
sgn(σ)=(-1)^m
:mは、a>bかつσ(a)<σ(b)となる組み合わせ(a,b)の個数。
なお、この組み合わせを反転という。
つまり、mはσの反転の個数
また、sgn(σ)をσの符号という。
例:
σ=
|1 2 3 4 5|
|1 3 5 4 2|
つまり
次を満たす置換σ:
σ(1)=1,σ(2)=3,σ(3)=5,σ(4)=4,σ(5)=3
についてsgn(σ)を求める。
反転は(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)
の4通りだから
sgn(σ)=(-1)^4=1

行列式の定義:
n次平方行列Aの行列式(|A|とかく)は以下のように定義される。
A:a(i,j)とすると
S(n)はn文字の置換全体の集合
|A|=Σ(σ∈S(n)){a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ))
(ここで、a(i,j)は行列Aのi行目のj列目にある成分であることに注意します)

この定義の意味は、S(n)つまり、全部でn!個あるn文字の置換全体の集合の要素の
それぞれの置換σに対して
a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ)
を計算してその後、求めたn!個の数値すべて足しあわせると言うことです。
例:
定義に従って行列
A=
|1 3|
|5 2| の行列式を求めよう

まず、今回はn=2だから
まず、2文字の置換すべてを求める。
(2!個あるはずですね)
σ1=
|1 2|
|1 2|

σ2=
|1 2|
|2 1|
の二つ(2!=2ですので当然)しかない。
sgn(σ1)=(-1)^0=1
sgn(σ1)=(-1)^1=-1(反転は(1,2)の一つだけ)
次に、σ=σ1、σ2についてa(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ)
を求めます。
σ=σ1のとき
a(σ(1),1)×a(σ(2),2)×....×a(σ(n)×sgn(σ)
=a(1,1)×a(2,2)×1
=1×2×1=2
σ2についても同様に
a(2,1)×a(1,2)×(−1)
=5×3×(−1)
=ー15

この二つを足しあわせれば
|A|=2-15
= -13
と求められます。
これで、行列式の定義の意味が理解できたでしょうか。n=3,4,5...
でも同じようにできますが計算が面倒です。
そのため、各種方法を使ってn<4に帰着させるのが一般的です。

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