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「pの2乗が3の倍数ならば、pも3の倍数である」←なぜですか?

semain59さん

2009/6/2723:06:22

「pの2乗が3の倍数ならば、pも3の倍数である」←なぜですか?

数学の勉強をしています。力を貸してください。
無理数について説明している文の中でこのような記述がありました。

「~ pの2乗が3の倍数ならば、pも3の倍数であるので ~」

なぜですか?気になります。

補足sitiseimoriaさん、eroeros69さんへ
どうもありがとうございました。とても助かります。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sitiseimoriaさん

2009/6/2800:29:42

これは、3が素数だから成り立ちます。
たとえば「p^2が4の倍数ならば、pは4の倍数である」は成り立ちません。(反例:p=2、p=6など。)

更に拡張して、一般に、qを素数として、「p^nがqの倍数ならば、pはqの倍数である」が成立します。

証明はやはり対偶をとります。対偶「pがqの倍数でないならば、p^nはqの倍数でない」は、qが素数なので自明です。
(pの素因数にqが含まれていなければ、pを何回掛けあわせても素数qがp^nの素因数となることはないから)

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

eroeros69さん

2009/6/2723:13:31

対偶で証明できます


pが3の倍数でないならばpの2乗が3の倍数ではない


pは3の倍数ではないのでp=3k土1です


p^2=(3k土1)^2=9k^2土6k+1=3(3k^2土2k)+1だから


pは3の倍数ではない

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