(1) 判別式=(5k-2)²-8k=25k²-28k+4=25(x-14/25)²+96/25>0 よって、全ての実数kについて2つの解を持つ。 また、y=f(x)のグラフの最小値は負である。 y=f(x)=(x+5k/2-1)²-(1/4)(25k²-12k+4) よって、このグラフの対称軸はx=-5k/2+1である。 このグラフの形を考えて、題意を満たす条件は、 0<-5k/2+1かつf(0)=2k>0かつf(1)=7k-1<0 以上より、0<k<1/7 (2) (β-α)²=(β+α)²-4αβ 解と係数の関係より、α+β=-5k+2,αβ=2k ∴(β-α)²=(-5k+2)²-8k=25k²-28k+4 (3) β-αが整数なので、(β-α)²は整数 (β-α)²=25k²-28k+4=(25k-3)(k-1)+1 これが0<k<1/7の範囲で整数になるので、k=3/25 このとき、 f(x)=x²-7x/5+6/25 =(1/25)(25x²-35x+6)=(1/25)(5x-1)(5x-6) ∴α=1/5,β=6/5