リンク先って、直和位相の画像になってますよ。 というツッコミはさておき。 まず復習ですが、位相空間(X,O_X)に対し、その開基は普通はものすごく沢山あります。 ℝ^2での普通の距離空間の位相でも １、開集合全部 ２，{B(a,ε) | a∈ℝ^2、ε>0} ３，{B(a,ε) | a∈ℝ^2、ε>0かつεは有理数} など、それぞれ開基です。 「選ぶことが出来る」いう言い方がちょっと微妙な言い方で、 「は、開基になる」と言ったほうがいいです。積位相で「何か開基の例を上げろ」と言われれば、普通のひとはこの開基を挙げると思います。そういう意味での「選ぶ」ですね。（開集合全部、と答えるのはチートです） 積位相は（原理的には） 「すべてのp_iがすべて連続になるような位相のうち、もっとも弱い位相」と定義されます。 そのような位相を入れた場合、この画像にあるタイプの（積集合の）部分集合はすべて開集合になります。これが開基になっていることは、この集合族が開基の公理を満たしていることを示せばいい。 証明は（リンクがないですが）定理24.1にどう解説してあるが分からないので・・・ （色んな説明の仕方はあるのですが）