数学の解答とは往々にしてアイディアが必要なときがあるけれど、そのアイディアが生まれた経緯を書く必要はありません。したがって、貴方のような疑問を持つ人が多いのですが、そのアイディアの必要性は解答を理解すれば分かるはずです。たとえ疑問を持っても、そのまま読み進めることをお勧めします。 この証明(cが奇数)の主旨は、cが偶数ではないことです。つまり、a,bがともに奇数(場合分け(i))のケースがあり得ず、ここで矛盾を導くことにあります。 偶奇の判断なのだから、mod2で出来るだろうと考えて採用したとします。 すると、 a²+b²≡1+1≡0 cが偶数であれば c²≡0 したがって両者は等しくなり矛盾が導けません。 mod2とは整数を2通りのグループに分けることです。2通りのグループで不十分であれば、より詳細に4通りのグループ、すなわちmod4で考えようとなるのです。