趣味で大学数学を勉強している中学生です。 組み合わせ論は始めたばかりで、初歩的なことも理解できていないかもしれませんが、優しく教えてくださると嬉しいです。 置換に関する質問です。 ∀g∈G⊂Sₙ （Sₙはn元集合Ω上の置換全体の集合） で、あるi∈Ωに対して、g(i)=iのとき Gをiの固定部分群と言うと知りました。 そこで、特にテキストなどを見たわけでもなく、勝手に思ったのですが、逆に、任意のi∈Ωに対して、g(i)≠iであるようなGには何か名前がないのでしょうか？ （もちろん、明らかに単位元もないので群ではないですが） つまり、{1,2,3,4}を{2,1,4,3}や{4,1,2,3}など、すべての元を別の元に移すような置換の集合です。（{1,2,3,4}を{4,2,1,3}に並び替える置換などはダメ(2が変わっていない)） また、そのようなGのうち、要素数が最大なもの（すべてのGの和集合）をGₙと呼ぶとして、|Gₙ|の値を求めてみようかと考えていました。（nはΩの元の数） |G₁|=0 , |G₂|=1 , |G₃|=2 , |G₄|=9 , |G₅|=44 （数えただけなので、間違っているかもしれません） と、具体的には計算できそうですが、一般のnで考えてみようとすると少し混乱してきます。 巡回置換の積として表したときに （ (○○…)ₖを長さkの巡回置換とします。） すべての元が現れている必要があるので (１○…)ₙ と (１○…)ₖ(○○…)ₙ₋ₖ のようになる置換の種類を、kを2からn-2まで動かして合計したものを考えればいいのではないかと思ったのですが、あまり良い方法ではないかもしれません…。 考えたことをいろいろ書いてしまいましたが ・Gの名称について ・|Gₙ|の値の計算方法について どちらか、またはどちらもについて、教えてくださると嬉しいです。よろしくお願いします。
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