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ベストアンサー

qne********

カテゴリマスター

2023/7/3 23:16

まず、ab>a+bについて証明する。 ab-a-b =(ab-a-b+1)-1 =(a-1)(b-1)-1 a≧2,b≧2よりa-1≧1,b-1≧1なので (a-1)(b-1)-1>0 よって、ab>a+b(…＊)である。 ab=x,cd=yとすると、x≧2,y≧2なので ＊より abcd=xy >x+y=ab+cd >(a+b)+(c+d) よって、abcd>a+b+c+dである。 わからないことがあれば返信ください。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

助かりました。ありがとうございます！

お礼日時：7/5 12:45

その他の回答（3件）

アルペジオ

2023/7/3 23:26

全ての文字に関して1次になっているから、 どれかの1次関数＝直線と考える。 a≧2,b≧2,c≧2,d≧2 ‥‥① Ｆ＝左辺－右辺＝ abcd－(a+b+c+d)＝ (abc－1)dｰ(a+b+c) 、としてdの関数とみる。 ①より、abc≧8＞1だから、これは傾き＞0の直線。 よって、d≧2より Ｆ＝(abc－1)d－(a+b+c)≧2(abc－1)ｰ(a+b+c)＝ (2ab－1)c－(2+a+b)、である。 同様にして、2ab－1≧7＞0、c≧2より、 Ｆ＝(2ab－1)c－(2+a+b)≧2(2ab－1)－(2+a＋b)、 になる。 よって、 Ｆ＝(4a－1)b－(4+a)≧2(4a－1)－(2+a)＝ 7a－6≧8＞0 ※ 最初から最後まで、同じ考え方で解ける。

アルペジオ

2023/7/4 10:39

(別解) abcd>a+b+c+d　→　(a+b+c+d)/(abcd)＜1を示すと良い。 (a+b+c+d)/(abcd)＝ 1/(bcd)＋1/(acd)＋1/(abd)＋1/(abc)、である。 a≧2,b≧2,c≧2,d≧2より、 1/(bcd)≦1/8、1/(acd)≦1/8、1/(abd)≦1/8、1/(abc)≦1/8。 これら4つを足すと 1/(bcd)＋1/(acd)＋1/(abd)＋1/(abc)≦4/8＜1. よって、証明された。

rjr********

2023/7/3 23:16

対称性からa≧b≧c≧d≧2としても構わないので abcd-(a+b+c+d) ≧abcd-(a+a+a+a) =abcd-4a =a(bcd-4)>0 (b≧2,c≧2,d≧2よりbcd-4≧8-4=4>0) よってabcd>a+b+c+d

qap********

2023/7/3 23:06

条件として、a≧2, b≧2, c≧2, d≧2 が与えられています。 まず、等号を満たす最小の値を考えます。a=b=c=d=2 の場合を考えると、 abcd = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 a + b + c + d = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ですので、abcd > a + b + c + d は成り立ちます。 次に、a, b, c, d のうち少なくとも1つは2よりも大きいときを考えます。 例えば、a > 2 の場合、a = 2 + x (ただし、xは正の整数) と書くことができます。 このとき、abcd = (2 + x) * b * c * d ですが、b≧2, c≧2, d≧2 より、 b * c * d ≧ 2 * 2 * 2 = 8 となります。 また、a + b + c + d = (2 + x) + b + c + d ですが、b≧2, c≧2, d≧2 より、 b + c + d ≧ 2 + 2 + 2 = 6 となります。 したがって、abcd = (2 + x) * b * c * d ≧ (2 + x) * 8 = 16 + 8x かつ、a + b + c + d = (2 + x) + b + c + d ≧ 2 + 6 = 8 ここで、x > 0 の場合を考えます。 16 + 8x > 16 2 + x + 6 > 8 したがって、x > 0 の場合、abcd > a + b + c + d が成り立ちます。 次に、x = 0 の場合を考えます。 abcd = 2 * b * c * d ≧ 2 * 2 * 2 * 2 = 16 a + b + c + d = 2 + b + c + d ≧ 2 + 2 + 2 + 2 = 8 したがって、x = 0 の場合でも abcd > a + b + c + d が成り立ちます。 以上の結果から、abcd > a + b + c + d が成り立つことが示されました。