正の整数a,b,c,dが等式a^2+b^2+c^2=d^2を満たすとする。 dが3の倍数でないならば、a,b,cの中に3の倍数がちょうどふたつあることを示せ。 という問題の解答の添削をお願いします。 対偶の「a,b,cの中に3の倍数が0個または1個または3個含まれるときdが3の倍数である」を証明する。 3の倍数が3個含まれるときa,b,cはすべて3の倍数だから、整数k,l,mを用いて a=3k,b=3l,c=3mと表される。このときa^2+b^2+c^2=3(3k^2+3l^2+3m^2) 3k^2+3l^2+3m^2は整数だから,a^2+b^2+c^2は3の倍数である。ゆえにd^2も3の倍数である。d^2が3の倍数のときdも3の倍数であるから対偶は真である。したがって、もとの命題も真である。
高校数学