契約に盛り込まれておらず、法律上の規制も受けないのでしたら、請求書不要が建前です。 ただ、ご質問のような場合、支払う側が一般に強いものです。支払う側が動かなければお金は基本的に移動しないためです。もちろん、継続的な取引でしたらお金を受け取る側が取引停止できるものの、すでに発生した債権の回収はより難しくなります。 また、10月から始まるインボイス制度では原則として、適格請求書の記載要件を満たす何らかの書類をやり取りする必要があります。「請求書」というタイトルでなくても構いませんが、そのような書類をお金を受け取る側が10月の取引以降用意しないのでしたら、契約に盛り込まれていなくても法律上の規制を受け、税法違反となるおそれがあります（発行が免除される要件をご確認ください）。 まとめれば、現時点では法規制を受けないのであれば建前として請求書不要でありどうするかは経営判断、10月以降の取引については要確認、でしょうね。