アポロニウスの円
P(z) , A(i) ,B(1) とすると AP=2BP より アポロニウスの円
z と共役な複素数を Z とすると |z|^2=zZ
z-i と共役な複素数は Z+i
z-1 と共役な複素数は Z-1
|z-i|^2=4|z-1|^2
(z-i)(Z+i)=4(z-1)(Z-1)
zZ+iz-iZ-i^2=4(zZ-z-Z+1)
zZ-{(4+i)/3}z-{(4-i)/3}Z=-1
{z-(4-i)/3}{Z-(4+i)/3}=8/9
z-(4-i)/3 と共役な複素数が Z-(4+i)/3 だから
|z-(4-i)/3|^2=8/9
|z-(4-i)/3|=2√2/3
点 4/3-i/3 を中心とし，半径 2√2/3 の円
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別解
|z-i|^2=4|z-1|^2
z=x+yi とおいて xy 平面で考える
z-i=x+(y-1)i , z-1=(x-1)+yi より
|z-i|^2=x^2+(y-1)^2 , |z-1|^2=(x-1)^2+y^2
x^2+(y-1)^2=4{(x-1)^2+y^2}
3x^2+3y^2-8x+2y+3=0
3(x-4/3)^2-16/3+3(y+1/3)^2-1/3+3=0
3(x-4/3)^2+3(y+1/3)^2=8/3
(x-4/3)^2+(y+1/3)^2=8/9
点 4/3-i/3 を中心とし，半径 2√2/3 の円
