できません。 理由はいくつかあります。 既に回答があるように、地球の自転軸と月の公転軸との角度のずれがあるということが一つ。 そのほか、月が楕円軌道を描いて公転しているということが一つ。つまり、公転周期が24時間で同期していても、公転速度が一定ではなく、軌道高度も変わり続けてるってことです。つまりそのエレベータは、常にぐにゃぐにゃ曲がって、なおかつ伸びたり縮んだりしないといけないわけです。 さらに、月ほどの大きさのものを静止衛星軌道上に置いた場合、潮汐力で崩壊しかねず、現在の形を保ち続けられるとは私には思えません。 月の直径は3,500kmほどあり、静止衛星高度36000kmに対して1割も高度差があります。 以上の考察から「できない」と回答します。