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a+b√2+c√3+d√6=0 (a,b,c,d∈Ｑ) を満たすのはa=b=c=d=0のみであることを証明したい。
a+b√2+c√3+d√6=0 (a,b,c,d∈Ｑ) を満たすのはa=b=c=d=0のみであることを証明したい。 a+b√2=√3(c+d√2)の辺々を二乗して有理数の相当条件に持ち込みたいのですがどうしたら良いでしょう？
回答（1件）
a²+2√2ab+2b²=3(c²+2d²+２√2cd) (a²+2b²-3c²-6d²)＋√2(2ab-2cd)=0 ab=cd bd≠0とすると a/d=c/b＝ｋとおいて a=dk c=bk (a²+2b²-3c²-6d²) =d²k²ー3b²k²+2b²-6ｄ² ＝(d²k²-3b²k²)＋２(b²-3d²) ＝(b²-3d²)（k²+1） これを０とすると b+√3d=0,またはb-√3d=0 b=d=0 これはｂｄ≠0に反する。 よってab=cdなら ｂｄ=0 b=0ならc＝０またはd=0 b=c=0なら a+d√6=0 a=d=0 b=d=0なら a+c√3=0 a=c=0 d=0ならa=0またはb=0 a=d=0なら √2b+√3d=0 b＝-(√3/√2)d √3/√2 は無理数なので b=c=0 d=b=0のとき a+√3c=0 a=c=0 どれにしてもa=b=c=d=0
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