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∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2を極座標に変換するにはどうすればいいですか？
∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2を極座標に変換するにはどうすればいいですか？ ∂/∂x = ∂/∂r (∂r/∂x) + ∂/∂φ (∂φ/∂x) = ∂/∂r (1/cosφ) + ∂/∂φ (-1/rsinφ) までは分かるんですがこの後どう2乗の形にするのかわかりません
数学・24閲覧・25
回答（2件）
z=z(x, y), x=r*c, y=r*s. (c=cosφ、s=sinφ) とすると、 ∂z/∂r=(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)=(∂z/∂x)*c+(∂z/∂y)*s, ∂z/∂φ=(∂z/∂x)(∂x/∂φ)+(∂z/∂y)(∂y/∂φ)=(∂z/∂x)*(-rs)+(∂z/∂y)*(rc). ---------------------さらに微分して、 ∂^2z/∂r^2 =(∂^2z/∂x^2)*c^2 + (∂^2z/(∂x∂y))*2sc + (∂^2z/∂y^2)*s^2. (1/r^2)*(∂^2z/∂φ^2) =(∂^2z/∂x^2)*s^2 + (∂^2z/(∂x∂y))*(-2sc) + (∂^2z/∂y^2)*c^2 - (1/r)*{(∂z/∂x)*c+(∂z/∂y)*s}. を得るゆえ、２式を加え、ｚをとると、 ∂^2/∂r^2 + (1/r^2)(∂^2/∂φ^2) + (1/r)(∂/∂r) =∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2. となります。 ー－－－－－－－－－－ 途中の計算は略しています。微分計算は自分でしてください。
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