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mep********

2023/11/12 22:00

11回答

ｙ軸上の点P(0, t)から双曲線x^2-y^2=1へ2本の接線を引き，接点をA,Bとする 三角形APBの面積をS(t)とするとき，S(t)の最小値を求めよ

ｙ軸上の点P(0, t)から双曲線x^2-y^2=1へ2本の接線を引き，接点をA,Bとする 三角形APBの面積をS(t)とするとき，S(t)の最小値を求めよ 答えを答えにルート3が含まれていたので，正三角形になるのかと思って出力してみたらやはり正三角形になっていました なぜこのような結果になるのか，解説していただきたいです

画像
補足

どうしても気になるのでどなたかお願いいたしますm(__)m https://www.geogebra.org/m/gaam8sfd

高校数学・40閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">50

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回答（1件）

アルペジオ

2023/11/12 22:32

その画像から、ｔ＞0だから、そのように回答する。 接線を、y=mx+ｔ‥‥①、として双曲線に代入する。 従って、 (1－m＾2)x＾2－2mｔx－ｔ＾2－1＝0 ‥‥② 1－m＾2≠0、判別式＝0、だから、 ｍ＾2＝ｔ＾2＋1 ‥‥③ ・m＝√(ｔ＾2＋1)の時 ‥‥ ①と②より、Ａ(－√(ｔ＾2＋1)/ｔ、－1/ｔ) ・m＝－√(ｔ＾2＋1)/ｔの時の時 ‥‥ ①と②より、Ｂ(√(ｔ＾2＋1)/ｔ、－1/ｔ) よつて、 S(t)＝(1/2)*(2√(ｔ＾2＋1)*(ｔ＋1/ｔ)＝ (ｔ＾2＋1)*√(ｔ＾2＋1)/ｔ、になる。 ここから、ｔ＞0で微分すれば良い。 但し、２乗して、S＾2(t)＝(ｔ＾2＋1)＾3/ｔ＾2。 これを、微分したら簡単だろう。

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