1+1=2の証明で質問があります 下の証明で、一意になるとあるのですが、自然数の間の縮尺が変わる可能性があると思うのですが。自然数ごとの幅は演算からは読み取れないものになるのでしょうか。 例えば我々の扱う0,0.9,1.8,2.7,3.6・・・という集合も許されるのではないかと思った次第です。 P1〜P3の性質と定理1から、それを満たす集合は一意に決まるとか言えるのでしょうか。 1.記号の説明 n∈Nは「nは集合Nの元」または、「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。また、f○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。 2.自然数の体系 まず、自然数とは、次の公理を満たすものである 集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ： (P1) s：N→Nは単射である。 (P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0 (P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。 これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。 新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。 3.帰納的定義の原理 以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。 【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する： （１） f(0)=x （２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n)) この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。 4.自然数の加法 定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。 【定理２】mを与えられた自然数とするとき、 (A1) f_m(0)=m (A2) f_m○s=s○f_m を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。 （証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終） 任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって ① m+0=m ② m+s(n)=s(m+n) である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して ③ 0+n=n である。さらに少々面倒な計算の後 ④ s(m)+n=s(m+n) も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち 【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。 5.「１＋１＝２」の証明 上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、 （＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』 ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。 さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、①②によって ⑤ s(n)=n+1 である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。 ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。 s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば⑤より s(1)=1+1 ∴ 2=1+1 （証明終）
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