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lim(x→0) (e^x - e^(-x)) / (sinx) の解き方(極限値)を教えて頂けませんか? ...

fuw********さん

2009/9/1712:54:51

lim(x→0) (e^x - e^(-x)) / (sinx)
の解き方(極限値)を教えて頂けませんか?
何度も考えてみましたが解けないんです…。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kji********さん

2009/9/1718:24:31

lim[x→0] ((e^x - e^(- x))/sin(x)) の求め方。

lim[x→0] ((e^x - 1)/x) = 1 を利用すれば簡単です。

lim[x→0] ((e^x - e^(- x))/sin(x))
= lim[x→0] ((e^x - 1) - (e^(- x) - 1))/sin(x))
= lim[x→0] ((((e^x - 1) - (e^(- x) - 1))/x)/(sin(x)/x))
= lim[x→0] (((e^x - 1)/x + (e^(- x) - 1)/(- x))/(sin(x)/x))
= (1 + 1)/1
= 2


lim[x→0] ((e^x - 1)/x) = 1 自体の理由については、
検索すればたくさん出て来ます。
微分の定義による e の定義を使ったもの、
lim[x→0] ((1 + x)^(1/x)) による e の定義を使ったもの、
ロピタルの定理を使ったもの(高校で使うと無効にされるらしいが...)
等、様々な説明があります。
それで、まあ、あえてここに書くまでもないのですが...
1 つだけ書いておきます。

lim[x→0] ((e^x - 1)/x)
= lim[x→0] ((e^(0 + x) - e^0)/x)
= e^0 (∵ e の定義より lim[x→0] ((e^(t + x) - e^t)/x) = e^t)
= 1

[補足]
lim[x→0] ((e^(t + x) - e^t)/x) とは (d/dt) e^t のことです。

質問した人からのコメント

2009/9/22 10:02:40

皆様、さまざまな解答をありがとうございました!
kjisakaさんのご回答が一番わかりやすかったので
ベストアンサーにさせていただきました。
でも、いろいろな解き方が分かって有難いです!
どうもありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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gui********さん

2009/9/1713:09:59

(e^x-e^(-x))/sinx
=[{e^x-e^(-x)}/x]×[x/sinx]

lim(x→0){e^x-e^(-x)}/x
=lim(x→0) 2(sinhx-sinh0)/(x-0)
=2(sinh)'(x=0)
=2cosh0
=2

lim(x→0)x/sinx=1

よって極限値は2

ari********さん

2009/9/1713:06:42

lim[x→0]{e^x-e^(-x)}/sin(x)=(0/0) の不定形だからロピタルより、
=lim[x→0]{e^x-e^(-x)}'/{sin(x)}'=lim[x→0]{e^x+e^(-x)}/cos(x)=2

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