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パラメータで表される関数の最大値最小値の求め方

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ID非公開さん

2009/10/1520:35:40

パラメータで表される関数の最大値最小値の求め方

受験勉強でがんばる弟に聞かれた問題です。略解しかなく、教えてあげられません。お手数おかけしますが、丁寧な解説をよろしくお願いいたします。

実数x、yがx^2+y^2<=1を満たしながら変化するとする。

(1)s=x+y、t=xyとするとき、点(s,t)の動く範囲をst平面上に図示せよ。

(2)負でない定数mをとるとき、xy+m(x+y)の最大値、最小値をmを用いて表せ。


(2)の解答は、最大値1/2+√(2)m

最小値は0<=m<=√2の時、-(m^2+1)/2

m>√2の時、1/2-√(2)m

となります。(<=及び、>=は以上以下の記号になります。)

解説のほう宜しくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kin********さん

編集あり2009/10/1601:04:05

(1)は画像で確認お願いします。
(2)は、まず、k=xy+m(x+y)とします。(kは定数。)そして、これをs,tで表して、t=-ms+kです。これは、s,t平面における直線の方程式と見ることができます。つまり、kは直線の切片と見ることができて、直線の切片の最大値、最小値をもとめればいいわけです。この直線は、画像の図の斜線部分の範囲内で動きますから、mは負でないから、傾きが負の直線を考えれば、(√2,1/2)で最大値、最小値は、
斜線部分の形をみればわかるように、場合わけが必要です。傾きが急であれば、最小値は(-√2,1/2)でとりますし、傾きが緩やかであれば、下側の放物線と接する点となります。あとは計算できますね。頑張って下さい。

(1)は画像で確認お願いします。...

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質問した人からのコメント

2009/10/16 22:30:24

降参 丁寧に、画像までつけてくださりありがとうございます。基本対称式は分かったのですが、解と係数の関係を使うんですね。
(2)も、頑張って計算します。助かりました。また機会がありましたら、宜しくお願いします。

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