ここから本文です

階段行列が全然わかりません。 a=(1 -1 3),b=(-2 2 -6),c=(3 3 3),d=(240),e=(2...

th8********さん

2010/1/923:40:59

階段行列が全然わかりません。

a=(1 -1 3),b=(-2 2 -6),c=(3 3 3),d=(240),e=(213)のベクトルをA=(a b c d e)とおき、これを階段行列に行基本する。
という問題なのですが...

どうなったら階段行列になるのかの定義が理解できません。
なのでどこまで行基本変形したらいいのか...
三角行列とは違うですよね?

一応答えは

(1 -2 0 -1 1/2)
(0 0 1 1 1/2)
(0 0 0 0 0 )

になるのですが...
階段行列って複数のパターンがあるんですよね;;

できたらrank、ピボットの定義も教えてください。
お願いします(__

補足回答ありがとうございます。

そもそも行列がどのような配列になった時が階段行列なのかがわかりません。

同様にrankもピボットもどこを見て判断するのかわかりません。

教えてください(__

閲覧数:
3,257
回答数:
1
お礼:
500枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

yur********さん

編集あり2010/1/1016:19:06

行列の基本変形
1.ある行をスカラー倍する。
2.ある行に他の行の何倍かを加える
3.2つの行を入れ替える

を施して

最終的に

100*…d1
010*…d2
001*…d3
0000 …0


のように左上にn次(この場合3次)の正方単位行列を形成するように施していく操作を施すことが

階段行列作りになります。

この場合 3次の単位行列ができたので rankは 3 といくことになります。

行列の式変形を行う際、1行1列目の数を 1となるように 行を入れ替えたり 行をスカラー倍したりします。

そして1行目の数を 他の行から引いていって 一列目について 1行1列目以外 すべて0にしていきます。

これを箒でゴミをはいていくことにみたててからはきだし法とよぶのでしょう。

そしたら、こんどは2行2列目の数を 1となるように 行を入れ替えたり 行をスカラー倍したりします。そして同様の操作を繰り返しま

す。 以下3行3列目も同様です。

このときの 基準となる 1行1列目の数、2行2列目の数 、…をピボットといっています。

さて、この問題を考えてみましょう

1 ー2 3 2 2 …①

ー1 2 3 4 1 …②

3 ー6 3 0 3 …③

②+①より
1 ー2 3 2 2

0 0 6 6 3

3 ー6 3 0 3

③+①×(ー1)より
1 ー2 3 2 2

0 0 6 6 3

0 0 ー6 ー6 ー3

1列目の掃き出し完了。次2列目 しかし、2行2列目は0になっている。そこでパスします。

ところで
③+②をおこなうと

1 ー2 3 2 2

0 0 6 6 3

0 0 0 0 0 となることがすぐにわかります。 3行目が一気に掃き出されました。

次に3列目に照準をあわせます。


2行目を6で割り3行2列目を1とする。

1 ー2 3 2 2

0 0 1 1 1/2

0 0 0 0 0

①+②×(ー3) (2行3列目をピボットに掃き出すと)

1 ー2 0 ー1 1/2

0 0 1 1 1/2

0 0 0 0 0

2列目と3列目を入れ替えると2行2列の単位行列になることがわかります。そこで計算は完了です。

これ以上の計算は無意味になります。 rankが2と確定しました。

いかがでしょう。

追加します。 うまく説明できなくて ごめんなさい。

階段行列の場合

次の図1ように、1列目は 1行目の c1≒0 で すが、2行目以下の値はすべて0です。

2列目は 2行2列めが0のときもあれば 図1のときのように 0がいくつか続くこともあります。

3列目も 同様ですが、 行番号が増えるに従ってだんだん左側に連続して並ぶ0が増えていきます。

場合によっては、ある行にきたら、その行の成分すべてが0になることもあります。

三角行列は 図2のように階段状になっていますから、階段行列の一つ(特別な場合)です。

rankですが、行列に基本変形を施し、その中の列を並べ替えたときに図3のようになったら

n番目まで、左上に 単位行列があらわれているので nをもってCのrankとします。

すなわち rankC=n

この問題の場合

2列目と3列目を入れ替えると 図4のように、2行2列の単位行列が左上にあらわれるので

rankA=2 です。


ピボットですが、最初のピボットは1行1列の成分です。 それを行にある数をかけて 1にしてやります。 いきなり0ということがありますがそんなときは 0でないどこかの行と入れ替えます。 そして 掃き出し法で 下の数を0にしていきます。

次のピボットは2行2列の成分ですが、そこが0というときもあります。 そんなときは さっきと同じように 0でない 下のどこかの行と入れ替え、それをピボットとして 掃き出し法で下の数を0にしていきます。

この問題の場合2行2列目をピボットとして 計算する必要がありませんでした。

どうしてかというと 1列目の掃き出し操作で2行2列目およびその下の成分はみんな0になってしまっているからです。

そこで右となりの2行3列目をピボットとします。しかしその前に 2行目を3行目にたすと きれいに3行目は掃けるのでそっちをまず

優先してやります。

それが終わったら、 2行3列目を1として上に掃き出し0にしていきます。 これで、後は列交換すれば左上に単位行列ができるのでrankが2と明らかになるので式変形はおしまいです。

質問した人からのコメント

2010/1/16 10:50:49

感謝 よくわかりました^^
補足にも答えていただきありがとうございました!

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる