空気銃で鹿をハントすることは可能でしょうか？

狩猟および駆除に関与していますので回答します。
当方の関与地域でも問題の深刻さは同じです。

近年強力な空気銃もありますので、鹿猟は可能です。
空気銃の狩猟免許で猟友会への入会はまったく問題ありません。
ただし猟友会に所属することと、駆除許可は別であることをご認識下さい。
役場から駆除依頼が猟友会に来て、猟友会長が駆除員を申請しますので、猟友会員イコール駆除員ではありません。
空気銃のみの会員を駆除員とするかは猟友会長が決めます。
もちろん地方の地域によっては猟友会員全員が駆除員となる場合もあります。
グループでイノシシや鹿の駆除をする際に空気銃での参加は獲物が通っても半矢で逃げると思われますのでこの場合の駆除参加は疑問です。

そこで質問者さまの本来の目的を満たす方法をアドバイスさせてください。
昨今の銃刀法改正で空気銃といえども所持や維持は手数や費用もかかります。
それに比してワナの免許は簡単でもあり、自己所有の耕地を自衛するのに実は一番駆除実績が上がる方法です。
イノシシや鹿は踏み込みの足ワナで、サルは箱ワナで捕獲します。（サルは日中に行動するので確かに空気銃が効果あり）
ワナ免許で猟友会所属し駆除員にしてもらってから、それでも必要なら空気銃や装薬銃を考えられたらいかがでしょうか？

理想的には、ワナを主として、補助的に空気銃や散弾銃を使用することが最も駆除効果を上げています。
ワナで掛かった獲物を槍で処分は時に危険を伴うので、射殺するのに散弾銃が有効です。（当初は所持者に頼むとか、、）

補足回答：捕獲率トップはワナ、サルなら空気銃も可だがどこかで野垂れ死に可能性大、シカならほとんどどこかへ行って野垂れ死に、装薬銃ならほぼ即死。
空気銃の威力大はエア充填式、威力中はポンピング式、威力弱はスプリング式。ＣＯ２ボンベ式は簡便で威力中だが最初の３発でもう威力なくなるので論外、ちなみに各銃とも口径は大きなほうが威力大。
但し、エア充填式は自転車空気入れで充填可でも３００気圧チャージは想像をはるかに超える体力が必要。多くの方はスキューバボンベも購入してスキューバ用品店で充填してもらって使用しているが、ボンベは一定期間に検査要で無検査は充填拒否されますので、けっこう費用と手間が掛かります。
購入はファーイーストガンセールス（平行輸入会社）が最も安価で銃本体のみ１５万円くらい。
http://www.fareast-gun.co.jp で参照下さい。
当方のグループではワナが最も猟果があり、散弾銃はトドメに使用、猟期中の巻狩りはあくまで遊び。空気銃を買うことも議論中だがサルの追い払い程度の利用価値しかないと判断しているところです。