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【至急】sin.cosの加法定理の応用について。 サイン・コサインの加法定理(β=α...

tka********さん

2010/6/1723:11:05

【至急】sin.cosの加法定理の応用について。

サイン・コサインの加法定理(β=αとおく)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβから
2倍角のsin2α=2sinαcosαになるまでの途中式と

cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβから
2倍角のcosα=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-1
になるまでの途中式を

それぞれ詳しく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

abc********さん

2010/6/1723:35:49

sin2α=sin(α+α)
これは、加法定理「sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ」のβをαに置き換えたものといえます。
よって、
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinβ
=sinαcosα+sinαcosα
=2sinαcosα
∴sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos(α+α)
これは、加法定理「cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ」ののβをαに置き換えたものといえます。
よって、
cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
=cos^2α-sin^2α …(*)
ここで、cos^2α=1-sin^2αだから、(*)に代入して、 〔←sin^2α+cos^2α=1〕
cos(α+α)=(1-sin^2α)-sin^2α
∴cos2α=1-2sin^2α
また、sin^2α=1-cos^2αだから、(*)に代入して、 〔←sin^2α+cos^2α=1〕
cos(α+α)=cos^2α-(1-cos^2α)
∴cos2α=2cos^α-1

質問した人からのコメント

2010/6/18 00:01:58

成功 すばらしい!とても分かりやすかったです。
迅速な回答をありがとうございました^^

みなさんもありがとうございました♪

ベストアンサー以外の回答

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mal********さん

2010/6/1723:29:25

こんばんは。以下のようになります。

sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ
”α=β”とおきます。
sin(α+α)=sin2α
=sinα・cosα+cosα・sinα
=sinα・cosα+sinα・cosα
=2sinα・cosα
よって、sin2α=2sinα・cosα

cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ
”α=β”とおきます。
cos(α+α)=cos2α
=cosα・cosβ-sinα・sinα
=(cosβ)²-(sinα)²
={1-(sinα)²}-(sinα)²
=1-2・(sinα)²
=1-2・{1-(cosβ)²}
=1-2+2・(cosβ)²
=2・(cosβ)²-1
よって、cos2α=(cosβ)²-(sinα)²
=1-2・(sinα)²=2・(cosβ)²-1

如何でしょうか?

kgf********さん

2010/6/1723:24:47

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
でβ=α とすると
sin2α=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
でβ=αとすると
cos2α=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α

三角関数の性質から
cos^2α=1-sin^2α
sin^2α=1-cos^2α

であるから
cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-1

となります。

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