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関数y=sinx+cosx-(sin2x)/2 (0≦x≦π)の最大値,最小値を求めよという問題の解き方を...

dre********さん

2010/7/223:18:20

関数y=sinx+cosx-(sin2x)/2 (0≦x≦π)の最大値,最小値を求めよという問題の解き方を教えて下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sho********さん

2010/7/302:00:33

sinx+cosx=t とおいて、両辺を2乗すると、
1+2sinxcosx=t^2
1+sin(2x)=t^2 ←二倍角の公式sin(2x)=2sinxcosx を逆に適用
∴sin(2x)=t^2-1
また、
t=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
で、0≦x≦π よりπ/4≦x+π/4≦5π/4
∴-1≦t≦√2
よって、
y=sinx+cosx-(sin(2x))/2
=t-(t^2-1)/2
=-1/2・t^2+t+1/2
=-1/2・(t-1)^2+1 (-1≦t≦√2)
よって、yは、t=1 のとき最大、t=-1 のとき最小となります。
[1]t=1 のとき
√2sin(x+π/4)=1 (π/4≦x+π/4≦5π/4)
sin(x+π/4)=1/√2
x+π/4=π/4, 3π/4
∴x=0, π/2
このときのyの値は、y=1
[2]t=-1 のとき
√2sin(x+π/4)=-1 (π/4≦x+π/4≦5π/4)
sin(x+π/4)=-1/√2
x+π/4=5π/4
∴x=π
このときのyの値は、y=-1
以上より、yは、
x=0, π/2 のとき最大値1
x=πのとき最小値-1
をとります。

質問した人からのコメント

2010/7/4 00:51:04

降参 教えてくれてどうもありがとうございました。

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