整数ｎに対して、ｎの各桁の和をＳ（ｎ）であらわす。 Ｓ（ｎ）＝５のとき Ｓ（ｎ...

>Ｓ（ｎ＾5）としてありうる最大値を求めよ。
十分条件で議論すればよいということですね。

a,b,c,d,eを非負整数としてa≧b≧c≧d≧e≧0とすると
S(n)=5であるnは
n=10^a+10^b+10^c+10^d+10^eとして表すことができます。
よって
n^5=(10^a+10^b+10^c+10^d+10^e)^5
これを多項展開するとk_1～k_5を非負整数かつ
k_1+k_2+k_3+k_4+k_5=5を満たすとして
10^(k_1*a+k_2*b+k_3*c+k_4*d+k_5*e)の係数は
5!/k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!
となります。取る値は1,5,10,20,30,60,120です。

ここでS(X)の性質について考えて見ます。
x_i∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
X=x_0+x_1*10+x_2*10^2+･･･
であるとすると
S(X)=Σx_i
が定義ですね。自明ですがS(X*10)=S(X)でS(X*10^m)=S(X)です。
一方、x,y∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}において
S(x+y)はx+yが桁上がりしない場合はS(x+y)=S(x)+S(y)ですが
桁上がりする場合、S(x+y)=S(x)+S(y)-9となります。具体的には
S(2+3)=S(2)+S(3)=5
S(6+7)=S(13)=4
などです。
なのでS(x_1*10^k_1+x_2*10^k_2)において
k_1≠k_2であるならば
S(x_1*10^k_1+x_2*10^k_2)=S(x_1)+S(x_2)
となりますが、k_1=k_2の時はx_1,x_2の値によっては
S(x_1*10^k_1+x_2*10^k_2)=S(x_1)+S(x_2)-9
となり値は小さくなります。(桁上がりしなければ同じでも
問題はありませんが、k_1≠k_2であれば十分であるとなります)

としてみるとS(n^5)の多項展開において各項
(5!/k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!)*10^(k_1*a+k_2*b+k_3*c+k_4*d+k_5*e)
におけるk_1*a+k_2*b+k_3*c+k_4*d+k_5*eが全て違えば
最大値として取り得るのは多項係数の
S(1)=1,S(5)=5,S(10)=1,S(20)=2,S(30)=3,S(60)=6,S(120)=3
に対してそれぞれの場合の数を掛けて398であるとなります。


とここまで書いてついでに必要条件の具体的な値を探すために
プログラムを組んでいたらすっかり遅くなってしまいました。
面白い問題だと思ったら数学オリンピックの予選問題ですか。。。
面白いわけですね。。。
ちなみに計算結果は少なくとも
n=1000000000000001000000000110000001
で
S(n^5)=398
となりました。参考まで。。。