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数学の規則性の表し方! 中学生の数学ですが規則性をnであらわすという問題があ...

gzt********さん

2010/8/1517:42:18

数学の規則性の表し方!

中学生の数学ですが規則性をnであらわすという問題がありますよね。
一定の数ずつ増えるのなら(○n+調整)
二乗ずつ増えるのなら(n二乗+調整)ですよね。

増える数が1,2,3,4,5…ずつ増えていく場合はどのように表せばいいんでしょうか;
例:1番目…面積1 2番目…面積3 3番目…面積6 4番目…面積10 …

中学生のわかる考え方でお願いしますm(_ _;)m

補足数列はまだわかりません( ̄∀ ̄;)すみません
一辺の長さが1㎝の正方形を1段2段…と階段状に並べていく問題です。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mal********さん

2010/8/1518:56:26

こんばんは。こういう感じでは如何でしょうか?

1番目:1=1²
2番目:3=2²-1
3番目:6=3²-(1+2)
4番目:10=4²-(1+2+3)
5番目:15=5²-(1+2+3+4)
6番目:21=6²-(1+2+3+4+5)
・・・
n番目:n²-{1+2+3+・・・+(n-1)}

上記のようなことが”予想”出来ます。従って、
”1+2+3+・・・+(n-1) ・・・①”を計算出来れば、
何とかなりそうです。

ひっくり返した、以下のようなものを考えます。
(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+1 ・・・②

①と②は”足す順番”を変えただけですから、もし、答えが
あるならば、同じになりそうです。それを”S(n-1)”とおきます。
1から(n-1)までの、(n-1)個の自然数の和です。

S(n-1)=1+2+3+・・・+(n-1)
S(n-1)=(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+1

上記の右辺側をみると、”1と(n-1)”、”2と(n-2)”、
・・・、”(n-1)と1”が対応していると考えても良さそうです。
よって、辺々足してみましょう。
2・S(n-1)={1+(n-1)}+{2+(n-2)}+・・・+{(n-1)+1}
=n+n+・・・+n
右辺に”n”が何個あるか判りますね?”(n-1)個”あります。
よって、結局、上の式は以下のようになります。
2・S(n-1)=n+n+・・・+n=n×(n-1)=n・(n-1)

知りたいのは”S(n-1)”でした。従って、両辺を2で割ります。
S(n-1)={n・(n-1)}/2

如何でしょうか?

これでn番目の面積が判ります。以下のようになります。
n番目:n²-{1+2+3+・・・+(n-1)}=n²-[{n・(n-1)}/2]
=(n/2)・{2n-(n-1)}=(n/2)・(n+1)={n・(n+1)}/2

質問した人からのコメント

2010/8/17 10:39:36

笑う 本当だ!すごい!ありがとうございます!

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nij********さん

編集あり2010/8/1607:13:08

1,3,6,10,-----

1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4

X=1+2+3+----------+n
X=n+(n-1)+(n-2)+---+1
----------------------
2X=(1+n)+(1+n)+(1+n)+---+(1+n)<=====n個の和
2X=n(n+1)
X=(1/2)n(n+1)

---------------------------------
この考え方は発見当時小学生であった数学者が見つけたものです。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー



1,2,4,7,11,16,-----,?,------

1
2=1+1
4=2+2=(1+1)+2=1+(1+2)
7=4+3=(1+(1+2))+3=1+(1+2+3)
11=7+4=(1+(1+2+3))+4=1+(1+2+3+4)

?=1+(1+2+3+----+(n-1))

?=(1/2)x(n^2-n+2)

階差数列といいます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
1,3,6,10,---とは異なる数列ですが・・・・。

どちらの御質問でしょうか?

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