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θについての方程式2sin2θ-2ksinθ-2kcosθ+k^2=0 (kは0以上の定数)・・・(※) (1)(※)...

kus********さん

2010/8/1523:36:07

θについての方程式2sin2θ-2ksinθ-2kcosθ+k^2=0 (kは0以上の定数)・・・(※)
(1)(※)が相異なる4個の解を持つような範囲
(2)(1)のとき、(※)の最小の解をα、最大の解をβとする。βをαを用いて表す。

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mit********さん

編集あり2010/8/1808:57:04

この問題は、(※)が

2sin2θ-2ksinθ-2kcosθ+k^2=0 ( k>=0)
4sinθcosθ-2ksinθ-2kcosθ+k^2=0
( 2sinθ-k)(2cosθ-k)=0 ・・・①

と因数分解出来るのに気付くかどうかが鍵のようです。

sinθ+cosθ=t とおいて、①をtの2次方程式にして考える方法だと(1)の必要条件(0=<k<2)は出てくるのですが(2)に全く進めませんでした。

ボヤキはここまで。以下解答に入ります。なお、θの範囲が限定されていませんでしたので、0=<θ<2π で進めていきます。

(1)
(※)は①のように変形できる。したがって sinθ=k/2 又は cosθ=k/2
sinθ,cosθ=<1 であることと k>=0を考えて、
0=<k<2
であることが必要。 但しk=√2の時は(2)に記した理由により除外。

答 0=<k<√2、√2<k<2


(2)(私が言葉で書くと分かりにくくなりますが><、図を書いて頂ければ、答えは直ぐに見えると思います)
単位円にx,y軸に平行な2直線 y=sinθ=k/2と x=cosθ=k/2を引く。2直線と円の交点がx軸対称で2つ、y軸対称で2つで計4つ現れる。これらの点と原点を結んだ線分とx軸とのなす角度が①の4つの解となる。


a)0=<k<√2の時(⇔2直線がx,y軸自体又はx,y軸に近いとき⇔0=<α<π/4)y=sinθ=k/2が円と第1象限で交わる点が作る角度がα、x=cosθ=k/2が円と第4象限で交わる点が作る角度がβ。k=0の場合は α=0、β=(3/2)π
(図を書いて見れば) β=(3/2)π+α

b)k=√2の時(⇔α=π/4)2直線が円上で交わるので(⇔解の重複が起きる)条件に合わず

c)√2<k<2の時(⇔2直線がx,y軸から遠いとき⇔π/4<α<π/2)x=cosθ=k/2が円と第1象限で交わる点が作る角度がα、x=cosθ=k/2が円と第4象限で交わる点が作る角度がβ
(図を書いて見れば) β=2π-α


答 0=<k<√2の時、β=(3/2)π+α。√2<k<2の時、β=2π-α

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