ここから本文です

極方程式のrの符号の扱い方が分かりません。

smi********さん

2010/10/2118:28:51

極方程式のrの符号の扱い方が分かりません。

※以下の座標はすべて極座標表示
a,eを正の定数、点AをA(a,0)とし、Aを通り始線OXに垂直な直線をLとする。
点PからLにおろした垂線をPHとするとき、OP=ePH であるようなPの極座標を求めよ。

比較例題:中心が点(a,α) (0<α<π)で、極Oを通る円上の点P(r,θ)の極方程式を求めよ。
鉛筆図よりOP=OAcos(θ-α)
すなわちr=2acos(θ-α)

(1)二つの例題をあげましたが、一方は、OP=rで絶対値なし。一方はOP=|r|で絶対値あり。なぜですか。

(2)OP=ePHの条件で 0<e<1 と限定するとき、
OP=r (絶対値をつけない)とおいて考えても
正答と同じ解が得られます。
0<e<1と条件があったとしても
一般にOPの長さは|r|とすべきなんでしょうか?

以上二つの質問をしましたが、「極座標では、rは負もとり得る」という概念が飲み込めないでいます。
その点も含めて解説お願いします。

e&amp;lt,絶対値,極座標,極方程式,OAcos,r&amp;lt,e&amp;gt

閲覧数:
5,290
回答数:
2
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

yao********さん

2010/10/2120:51:02

画像の図は間違っています。
r<0 のとき,
P は (rcosθ,rsinθ)=(-|r|cosθ,-|r|sinθ)=(|r|cos(θ+π),|r|sin(θ+π))
ですから,θが第1象限の角なら,Pは第3象限になります。

r≧0 で考えると次のようになります。
(1) P が L より左側にあるとき
r=e(a-rcosθ)
∴ r=ea/(1+ecosθ) (ただし,cosθ>-1/e)

(2) P が L より右側にあるとき
r=e(rcosθ-a)
∴ r=ea/(rcosθ-1) (ただし,cosθ>1/e)

※ 0<e<1 のとき,楕円で (1) しかありません。
※ e=1 のとき,放物線で (1) しかありません。
※ e>1 のとき,双曲線で (1) と (2) があります。
※ e>1 のとき,(1) で cosθ<-1/e のとき,
※ r<0 になり,冒頭で説明したようにPを考えると,Lより右側の曲線を表します。
※ ゆえに,r<0 も考えると一つの式で表すことができて便利です。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

エヌさん

2010/10/2120:16:37

たとえば(1,π)と(-1,0)は同じでしょ,rの符号ひっくり返すってことはθを180°回すってことなんだから,というような話です>「極座標では、rは負もとり得る」

(1)実は比較例題の方でもrが負のケースは考えてるんですよ。θがα+π/2〜α+3π/2の間はcos(θ-α)が負だからrは負でしょ。それが上で言った理屈で180°反対のところ(α+3π/2〜α+5π/2)に現れて,θが一周する間にPは円を2周します(α-π/2〜α+π/2で一周,このときrは0以上。α+π/2〜α+3π/2で一周,このときrは0以下)。だからそれがだめだというなら例題のように絶対値つきで考えるかθの範囲を制限しなくちゃだめ。

(2)0<e<1のときは楕円だからr<0になることはありません。e>1のときは双曲線で,θが左向きで漸近線よりも緩やかな傾きになったときはr<0になって右の方に現れます。まあ計算の上ではrに絶対値がついていようがいまいが,右辺の絶対値で±が現れるし,0<e<1のときはPは絶対にLよりも左側にあるから,右辺の絶対値もいらないのです。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる