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高校数学Ⅰ三角比より AD//BCの台形ABCDにおいて、対角線の交点をOとし、OB,OCの...

keiji0508さん

2010/11/209:11:19

高校数学Ⅰ三角比より

AD//BCの台形ABCDにおいて、対角線の交点をOとし、OB,OCの中点をそれぞれE,Fとする。
△OEFの面積が台形ABCDの面積の1/9であるときAD:BCを求めよ。

よろしくお願いします。

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2010/11/209:42:48

三角比で解くんですか。。。
三角比じゃなかったら解けました(笑)
(面積の比を利用するやり方です)

仮にAD:BC=a:b(a,b>0)と置きます。
すると、(台形ABCD):(△ABDの面積):(△BCDの面積)=(a+b):a:bになります。
(以下「~の面積」は省略)

また、△ADO∽△CBOであることから、
DO:BO=a:b ∴BD:BO=(a+b):b, △BCD:△BOC=(a+b):b

そして△BOC∽△EOFであり、OB:OE=2:1だから、
△BOC:△EOF=4:1です。

今までの式に出てきた比をまとめていきます。
△BCD:△BOC:△OEF=4(a+b):4b:b
△ABD:△BCD:△OEF=4a(a+b):4b(a+b):b^2
台形ABCD:△OEF=4(a+b)^2:b^2

で、問題文から台形ABCD:△OEF=9:1と分かっているので
4(a+b)^2:b^2=9:1
4a^2+8ab-5b^2=0
(2a+5b)(2a-b)=0
a,b>0であるから、2a-b=0 ∴a:b=1:2…(答)

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buffer314さん

2010/11/209:44:40

△OEFの面積が台形ABCDの面積の1/9であるときAD:BCを求めよ
AD:BC=1:2

hikarun49さん

2010/11/209:29:21

AD:BC=1:2
です。

まず、AD:BC=1:a としてaを求めようという方針を立てます。
そうすると、面積比が
ADO:ABO:CDO:BCO=1:a:a:a^2
となります。
また、点E、Fが中点であることから、
EFO:BCO=1:4
です。
これらの事を使えば容易に求められるでしょう。

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