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数学です。(急) f(θ)=6sin二乗θ +2cos二乗θ -4√3sinθcosθ+2√6sinθ-2√2 cosθ-...

usd********さん

2010/12/1600:40:21

数学です。(急)
f(θ)=6sin二乗θ +2cos二乗θ -4√3sinθcosθ+2√6sinθ-2√2 cosθ-3 (0≦θ≦パイ)とする。

t=√3sinθ-cosθとおくと、-1≦t≦2である

f( θ)=kの異なる解の個数が1個であるような整数kの値は□個ある。

答えは6個になるのですがなぜそうなるのかが全く分かりません。

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rsk********さん

編集あり2010/12/1605:06:29

f(θ)=6(sinθ)^2+2(cosθ)^2-4√θθ3sinθcosθ+2√6sinθ-2√2cosθ-3
(0<=θ<=π)
f(θ)=2(√3sinθ-cosθ)^2+2√2(√3sinθ-cosθ)-3
ここでt=√3sinθ-cosθ=2sin(θ-π/6)とおくと
0<=θ<=πより、-1<=t<=2である。よってf(θ)はtの関数として新たに
g(t)=2t^2-2√2t-3 (-1<=t<=2)
と表現しなおすことができる。

したがって、f(θ)=k...(*)の解は
g(t)=k...① かつt=2sin(θ-π/6)...②の解である。
よってf(θ)=kの解がただ一つとなるためには①②がともにただ一つの実数解をもてばよい。

②から考える。
t=2sin(θ-π/6) の解は0<=θ<=π において
-1<=t<1,t=2のとき、つまり0<=θ<=π/3,θ=4π/3のときただ1つとなる。
(単位円を描いて考えると分かりやすい)

①を考える。
y=g(t)のグラフを描くと、これは放物線である。(下図参照)
図より-4<k<=g(-1)=-1-2√2のとき①は相異2実解をもつので
k=4,-1-2√2<=k<=g(2)=5+4√2のとき-1<=t<=2においてただ一つの実数解をもつ。

以上を総合する。
表記の簡単のため①②及び(*)の実数解の個数をそれぞれa,b,cとする。
a,b,cにはc=a*bの関係が成り立つ。
1)k=5+4√2のとき、a=1,b=1よってc=1
2)-1+2√2<=k<5+4√2のとき、a=2,b=1よってc=2
3)-1-2√2<k<-1+2√2のとき、a=1,b=1よってc=1
4)-4<k<=-1-2√2のとき、a=1,b=2よってc=2
5)k=-4のとき、a=1,b=1よってc=1

よって(*)がただ一つの解をもつのは
k=5+4√2,-1-2√2<k<-1+2√2,k=-4のときであり、これを満たす整数kはk=-4,-3,-2,-1,0,1の6個である ■


いかがでしょうか。

f(θ)=6(sinθ)^2+2(cosθ)^2-4√θθ3sinθcosθ+2√6sinθ-2√2cosθ-3...

質問した人からのコメント

2010/12/16 12:42:52

降参 ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

sui********さん

編集あり2010/12/1606:21:13

t=√3sinθ-cosθ
両辺を2乗すると
t^2=3(sinθ)^2-2√3sinθcosθ+(cosθ)^2

f(θ)=6(sinθ)^2+2(cosθ)^2-4√3sinθcosθ+2√6sinθ-2√2cosθ-3
f(θ)=2{3(sinθ)^2+(cosθ)^2-2√3sinθcosθ}+2√2(√3sinθ-cosθ)-3
であるから、t=√3sinθ-cosθとおくと
2*t^2+2√2*t-3 (-1≦t≦2)
となる。
これを
g(t)=2*t^2+2√2*t-3 (-1≦t≦2)
とする。


f(θ)=kの異なる解の個数を求めるには、f(θ)-k=0
すなわち二次方程式g(t)-k=0の判別式Dを考えればよい。

ただしg(t)-kの解の個数が1個であっても、
f(θ)-kの解の個数が1個であるとは限らない。(2個以上の可能性がある。)

t=√3sinθ-cosθ=2sin(θ-π/6) (0≦θ≦π)より
(見やすくするために)θ'=θ-π/6とおくと、
t=2sinθ' (-π/6≦θ'≦5π/6)
π/6≦θ'<π/2,π/2<θ'≦5π/6を満たすθ'は、異なる2つのθでもtは同じ値をとる。
逆に-π/6≦θ'<π/6 , θ'=π/2を満たすθならば、θが異なればtも異なる値をとる。
よってt=2sin(θ-π/6)(-π/6≦θ-π/6<π/6 , θ-π/6=π/2)を考える。

すなわちtは-1≦t<1 , t=2の範囲で考えればよい。


(i)D<0のとき

異なる解の個数は0より、題意を満たす整数kはない。

(ii)D=0のとき

g(t)-k=2*t^2+2√2*t-3-kより判別式Dは
D=8-4*2(-3-k)=0
8k+32=0
k+4=0
k=-4

このとき、2t^2+2√2t-3=-4を満たすt(=-√2/2)は-1≦t<1より
k=-4はf( θ)=kの異なる解の個数が1個であるような整数kの値である。

(iii)D>0のとき

すなわちk>-4のときは異なる解の個数を2個もつ。
ただしtの範囲は-1≦t<1,t=2であるので、解の個数が1個となる場合がある。

2次関数g(t)は頂点(-√2/2,-4)、下に凸の放物線グラフである。
またg(-1)=-1-2√2 , g(1)=-1+2√2 , g(2)=5+4√2であるから、
-2√2-1≦k<-1+2√2 , k=5+4√2 を満たす整数kは異なる解の個数が1個となる。
(y=g(t)とy=kとの交点をみれば明らか)
よってk=-3,-2,-1,0,1の5個。

(i)~(iii)より6個

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